The test statistic
- The slope test statistic compares $b$ to $0$ in standard errors:
-
$$t = \frac{b}{SE_b}$$
- Both $b$ and $SE_b$ come straight from the computer output.
- Output often prints this $t$ (and its p-value) for you already.
Find the p-value
- Use the $t$-distribution with $df = n - 2$.
- Two-sided $H_a$: the standard output p-value (already two-tailed).
- One-sided $H_a$: halve the reported two-sided p-value (if $b$ is in the claimed direction).
- The p-value is the chance of a slope this far from $0$ if $\beta$ were truly $0$.
Make a decision
- Compare the p-value to $\alpha$:
- p $\le \alpha$ → reject $H_0$: convincing evidence of a linear relationship.
- p $> \alpha$ → fail to reject: not convincing evidence.
- Standard decision rule.
Conclude in context
- State it about the linear relationship between the real variables.
- "Convincing evidence of a positive linear relationship between hours and score" (if rejected).
- Or "not convincing evidence of a linear relationship" (if not).
- Failing to reject never proves $\beta = 0$.
Computer output's p-value is two-sided — halve it for a one-sided $H_a$ (and only if the sample slope points the way $H_a$ claims). Use $df = n - 2$, and read $t = b/SE_b$ from the output rather than recomputing. As always, "fail to reject" means insufficient evidence, not proof of no relationship.
Output: $b = 4.2$, $SE_b = 1.0$; two-sided p-value $= 0.001$; $H_a: \beta > 0$, $\alpha = 0.05$.
- $t = \dfrac{4.2}{1.0} = 4.2$ ($df = n-2$).
- One-sided p-value: $0.001 / 2 = 0.0005$ ($b > 0$ matches $H_a$).
- Decide: $0.0005 \le 0.05$ → reject $H_0$; convincing evidence of a positive linear relationship.
Compute the slope $t = \frac{b}{SE_b}$ from the output, find the p-value at $df = n - 2$ (halve the two-sided output value for a one-sided $H_a$), and compare to $\alpha$: reject $H_0$ if p $\le \alpha$ (a linear relationship exists), else fail to reject — stated in context.
적합된 기울기를 0과 비교하여 검정하기
t = b/SE_b는 기울기가 0에서 얼마나 떨어져 있는지를 측정한다.
b = 4.2, SE_b = 1.0. 기울기 검정 통계량 t = b/SE_b를 계산하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
4.2 / 1.0 = 4.2.
양방향 출력의 p-value가 0.001이다. 양방향 Ha (b가声称된 방향에 있을 때)에 대해 p-value는 얼마인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
양방향 값을 반으로 나누세요: 0.001 / 2 = 0.0005.
p-value가 0.0005이고 α = 0.05일 때, 결정은 ...이다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
0.0005 ≤ 0.05 → H0를 기각합니다.
컴퓨터 회귀 출력은 기본적으로 양방향 p-value를 보고합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
한쪽 대안 가설을 위해 절반으로 줄입니다.
H0: β = 0를 기각하면 ...라고 결론지을 수 있습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
평면적 영가설을 기각 → 실제 선형 관계 존재.