| English | 의미 |
|---|---|
| difference of two sample means/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl miːnz/ | 두 표본 평균의 차이 |
두 평균 비교
- 두 모평균을 비교할 때는 두 표본 평균의 차이 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$를 사용합니다.
- 이 통계량의 표본 분포는 진짜 차이에 centered(중심): $\mu_1 - \mu_2$입니다.
- 이 통계량은 Unit 7의 모든 두 표본 $t$ 절차의 핵심입니다.
- 이를 통해 두 집단의 평균이 실제로 다른지 알 수 있습니다.
두 산포 결합하기
- 표준편차는 두 집단의 변이를 모두 결합합니다:
-
$$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
- 다시 한번 분산은 더합니다 — 각 집단은 자체 $\frac{\sigma^2}{n}$를 기여합니다.
- 우리는 평균의 차이를 취하고 있음에도 불구하고 **$+$**는 성립합니다.
두 표본에 대한 조건
- 정규성: 각 $\bar{x}$는 정규분포여야 합니다 — 정규 모집단 또는 각 집단에 대해 충분히 큰 $n$(CLT)이 있어야 합니다.
- 독립성: 두 표본은 서로 독립이어야 합니다.
- 무반복 추출인 경우 각 집단에 대해 10% 조건도 확인해야 합니다.
- 집단 $1$와 집단 $2$에 대해 각각 검증합니다.
정규 모델 사용
- 조건이 만족되면, $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$는 근사적으로 정규분포를 따릅니다.
- 표준화합니다: (관찰된 차이 $-$ 진짜 차이) $\div$ 결합된 표준편차.
- 표준 정규분포에서 확률을 읽습니다.
- 이 기초는 나중에 두 표본 $t$ 검정과 구간 추정으로 이어집니다.
분산을 더하십시오 — 평균의 차이를 구하더라도 — $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$를 더한 뒤 제곱근을 취합니다. 절대 빼거나, 표준편차를 직접 더하지 마십시오. 또한 각 집단에 대해 자신만의 정규성 정당화가 필요합니다(정규 모집단 또는 큰 $n$) — CLT는 결합된 데이터 전체에 적용되는 것이 아니라 집단별로 만족되어야 합니다.
집단 $1$: $\mu_1 = 50$, $\sigma_1 = 6$, $n_1 = 9$. 집단 $2$: $\mu_2 = 45$, $\sigma_2 = 8$, $n_2 = 16$.
- 중심: $\mu_1 - \mu_2 = 50 - 45 = 5$.
- 표준편차: $\sqrt{\dfrac{36}{9} + \dfrac{64}{16}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$.
- 관찰된 차이를 이 중심과 표준편차 기준으로 표준화하십시오.
두 표본 평균의 차이 $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$는 평균 $\mu_1 - \mu_2$와 표준편차 $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$를 가집니다(분산은 더함). 정규성(집단별)과 독립성 조건이 만족될 때 정규분포로 모델링합니다 — 이는 평균에 대한 2-sample 추론의 기초입니다.
x-bar-1 − x-bar-2의 분포
μ!1 − μ!2를 중심으로 하며, 두 분산이 제곱근 아래에 더해진다.
μ!1 = 50, μ!2 = 45일 때, x-bar-1 − x-bar-2의 중심을 구하시오.
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μ1 − μ2 = 50 − 45 = 5.
σ!1=6, n!1=9 및 σ!2=8, n!2=16일 때, 표준편차 SD = √(36/9 + 64/16)를 구하시오. 소수점 둘째 자리까지 반올림하시오.
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√(4 + 4) = √8 ≈ 2.83.
두 독립 표본 평균의 차이에 대한 분산은 두 분산의 합이다.
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차이든 상관없이 분산은 더한다: σ!1²/n!1 + σ!2²/n!2.
x-bar-1 − x-bar-2의 정규모델을 사용하기 위해 정규성은 다음을 통해 정당화되어야 한다...
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각 그룹은 정규 모집단이거나 충분히 큰 n을 가져야 한다.
두 표준편차를 직접 더하여 차이의 표준편차를 얻을 수 있다.
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분산을 더한 뒤 제곱근을 취하십시오—표준편차(SD)를 더하지 마십시오.