| English | 의미 |
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| difference of two sample proportions/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl prəˈpɔːʃnz/ | 두 표본 비율의 차이 |
두 집단의 비교
- 종종 두 비율을 비교합니다. 예를 들어, 집단 $1$의 지지율 vs 집단 $2$의 지지율을 비교하는 경우입니다.
- 이 통계량은 두 표본 비율의 차이 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$입니다.
- 이 통계량의 표본 분포는 진짜 차이에 centered(중심): $\mu = p_1 - p_2$입니다.
- 이를 통해 두 집단이 실제로 다른지 판단할 수 있습니다.
산포 결합하기
- 표준편차는 두 표본의 변이를 모두 결합합니다:
-
$$\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$
- **$+$**를 참고하세요: 분산은 더합니다(“변수 결합” 규칙을 따름). 차이를 구하더라도 마찬가지입니다.
- 각 집단은 자체 $\frac{p(1-p)}{n}$ 항을 기여합니다.
두 표본 확인하기
- **대수 조건(large counts condition)**을 각 집단에 적용합니다: $n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2)$ 모든 $\ge 10$.
- 독립성을 요구합니다: 두 표본은 서로 독립이어야 합니다.
- 무반복 추출인 경우 각 집단에 대해 10% 조건도 확인해야 합니다.
- 오직 이러한 조건들이 충족될 때만 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$에 대한 정규 모델이 유효합니다.
정규 모델 사용
- 조건이 만족되면, $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$는 근사적으로 정규분포를 따릅니다.
- 표준화하여 $z$-점수를 계산합니다: (관찰된 차이 $-$ 진짜 차이) $\div$ 결합된 표준편차.
- 이후 표준 정규분포에서 확률을 읽습니다. 이전과 동일한 방법입니다.
- 이는 2비율 검정과 구간 추정(Unit 6)의 기초가 됩니다.
분산은 더합니다 — 차이를 구하더라도. $\hat{p}_1-\hat{p}_2$의 표준편차는 두 $\frac{p(1-p)}{n}$ 항을 **$+$**하여 제곱근을 취합니다. 절대 빼거나 하지 않습니다. 또한 대수 조건을 양쪽 집단에 대해 개별적으로 확인해야 합니다(네 개의 수치, 모두 $\ge 10$) — 한 집단이 건강하다고 해서 다른 한 집단의 수치가 적어도 방패가 될 수는 없습니다.
$p_1 = 0.5$ ($n_1 = 100$), $p_2 = 0.4$ ($n_2 = 100$).
- 중심: $p_1 - p_2 = 0.5 - 0.4 = 0.1$.
- 표준편차: $\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{100} + \dfrac{0.4(0.6)}{100}} = \sqrt{0.0025 + 0.0024} = \sqrt{0.0049} = 0.07$.
- 수치: 네 가지($50, 50, 40, 60$) 모두 $10$ 초과 → 정규분포 가정이 타당함.
두 표본 비율의 차이 $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$는 평균 $p_1 - p_2$와 표준편차 $\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$를 가집니다(분산은 더함). 대수 조건과 독립성 조건이 두 표본에 모두 만족될 때 정규분포로 모델링합니다.
p-hat-1 − p-hat-2의 분포
p1 − p!2를 중심으로 하며, 두 분산이 제곱근 아래에 더해진다.
p!1=0.5, p!2=0.4일 때, p-hat-1 − p-hat-2의 중심(평균)을 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
평균 = p!1 − p!2 = 0.5 − 0.4 = 0.1.
p!1=0.5, n!1=100 및 p!2=0.4, n!2=100일 때, 표준편차(SD) = √(0.0025+0.0024)를 구하시오. 소수점 둘째 자리까지 반올림하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
√0.0049 = 0.07.
두 비율의 차이에 대한 표준편차를 구하려면 두 분산을 빼야 한다고 생각하기 쉽지만...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
차이든 상관없이 분산은 더해야 하며, 그 뒤 제곱근을 취한다.
p-hat-1 − p-hat-2의 정규모델을 사용하기 위해 대수치 조건(macro counts condition)은 다음을 만족해야 한다...
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네 개의 모든 수치(두 그룹 모두)가 ≥ 10이어야 한다.
이 모델에서는 두 표본이 서로 독립이어야 한다.
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표본 간의 독립성이 필수적이다.