| English | 의미 |
|---|---|
| sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/ | 표본 비율 |
| large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/ | 대수 조건 |
| 10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/ | 10% 조건 |
p-hat의 분포
- 표본비 $\hat{p}$는 진짜 인구 비 $p$를 추정합니다.
- 표본 분포는 $p$ 에 중심을 잡습니다: $\mu_{\hat{p}} = p$ (따라서 $\hat{p}$는 편향되지 않습니다 ).
- 서로 다른 표본은 다른 $\hat{p}$를 제공합니다 — 확산은 다음에 정량화할 것입니다.
- 적절한 조건 하에서 이 분포는 대략적으로 정분포입니다.
표준편차
- $\hat{p}$의 표준편차는 다음과 같습니다:
-
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
- 더 큰 $n$ → 더 작은 확산 → 더 정밀한 추정(아래의 $\sqrt{n}$).
- 이는 $\hat{p}$가 진짜 $p$로부터 translate하는 typical 거리를 측정합니다.
큰 횟수 조건(The large counts condition)
- $\hat{p}$에 대해 정분포 모델을 사용하기 위해 큰 계수 조건을 확인하십시오:
-
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
- 말로 하면: 적어도 $10$ 건의 성공과 적어도 $10$ 건의 실를 기대해야 합니다.
- EITHER count that is under $10$, the sampling distribution is too skewed for the normal model.
10% 조건
- 교체 없이抽样할 때 10% 조건을 확인하십시오 10%.
- 표본은 인구의 최대 $10\%$ 를 초과해서는 안 됩니다: $n \le 0.10 N$.
- 이는 시도를 독립성에 "충분히 가까워" 있게 하여 SD 공식을 유지하게 합니다.
- 큰 인구에서 작은 조각을 빼면 거의 변화가 없습니다.
두 가지 다른 조건이 두 가지不同的imately를 수행합니다. 큰 계수 조건($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$)은 정분포 형태를 정당화하고, 10% 조건($n\le0.10N$)은 SD 공식背后的独立性를 정당화합니다. $\hat{p}$를 정분포로 모델링하기 전에 둘 다 확인하십시오 —其中之一省略则后续的推断无效。
인구의 $p = 0.4$가 계획에 지지되며, 당신은 $n = 100$를抽样합니다.
- 중심: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. SD: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
- 큰 계수: $np = 40 \ge 10$와 $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ 정분포 가능.
- 10%: 모집단이 $1000$보다 크면 적절합니다.
표본비 $\hat{p}$는 $\mu_{\hat{p}} = p$과 $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$를 가집니다. 큰 계수 조건($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$)이 성립할 때 정분포로 모델링하십시오; 교체 없이抽样할 때는 additionally 10% 조건($n \le 0.10N$)을 확인하십시오.
p-hat의抽样 분포
p를 중심으로 하며, 퍼짐은 √(p(1−p)/n); 대수치 조건(macro counts condition) 하에 정규분포를 따른다.
p = 0.4, n = 100일 때, p-hat의 표준편차 σ = √(p(1−p)/n)을 구하시오. 소수점 둘째 자리까지 반올림하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
√(0.4·0.6/100) = √0.0024 ≈ 0.049 ≈ 0.05.
p-hat의 정규모델에 대한 대수치 조건(macro counts condition)은 다음을 요구합니다...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
예상 성공 횟수가 최소 10회 AND 예상 패 횟수가 최소 10회여야 한다.
p-hat의抽样 분포의 평균은 실제 비율 p와 같다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
μ(p-hat) = p이므로, p-hat는 편향되지 않은(unbiased) 추정치이다.
복원 없이 추출할 때, 10% 조건은 다음을 요구합니다...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
표본은 모집단의 최대 10%여야 한다.
n을 증가시키면 p-hat의 표준편차가 작아진다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
n이 제곱근 아래에 있으므로, n이 커지면 퍼짐이 작아진다.