| English | 의미 |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 정규분포 |
| z-score/zed skɔː/ | z점수 |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | 표준정규분포 |
| statistical inference/stəˈtɪstɪkl ˈɪnfərəns/ | 통계 추론 |
The bell curve returns
- Many sampling distributions are well modeled by the normal distribution 正态分布.
- It's the familiar symmetric bell, described by a mean and a standard deviation.
- When a statistic's sampling distribution is normal, we can compute probabilities for it.
- This is why the normal model is the workhorse of inference.
z-scores for a statistic
- A $z$-score 标准分数 says how many standard deviations a value sits from the mean:
-
$$z = \frac{\text{statistic} - \text{mean}}{\text{standard deviation}}$$
- For a sample statistic, the "standard deviation" is that of its sampling distribution.
- The $z$-score converts any normal value onto one common scale.
The standard normal
- The standard normal 标准正态 distribution has mean $0$ and standard deviation $1$.
- Every $z$-score lives on it, so one table (or calculator) handles all normal problems.
- Probabilities: area under the curve left/right of a $z$.
- Critical values: the $z$ that cuts off a chosen tail area (e.g. $z^* = 1.96$ for the middle $95\%$).
Why it matters for inference
- Inference asks: "how surprising is my sample, if a claim were true?"
- The normal model turns that into an area (a probability) under the bell.
- A statistic far out in the tail (large $|z|$) is surprising evidence.
- Every confidence interval and test in Units 6–9 runs on this machinery.
The $z$-score's denominator is the standard deviation of the sampling distribution, not the spread of one sample's raw data. Mixing these up is a classic slip. And remember the empirical rule benchmarks — about $68\%$ within $1$ SD, $95\%$ within $2$, $99.7\%$ within $3$ — for a quick sense of how extreme a $z$ is.
A statistic is normal with mean $50$ and SD $4$. You observe a value of $58$.
- $z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$ — two standard deviations above the mean.
- By the empirical rule, only about $2.5\%$ of values exceed $z = 2$.
- So a value of $58$ is fairly surprising under this model.
The normal distribution models many sampling distributions. A $z$-score $z = \frac{\text{stat} - \text{mean}}{\text{SD}}$ maps a value onto the standard normal (mean $0$, SD $1$), where probabilities are areas and critical values cut off tail areas. This normal machinery powers all statistical inference.
z로 그림자가 칠해진 표준 정규 분포
곡선 아래의 면적이 확률을 주며, z는 기준점을 표시합니다.
평균이 50이고 표준편차가 4인 통계치가 있습니다. 값 58의 z 점수를 구하십시오.
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z = (58 − 50)/4 = 2.
표준 정규 분포에는 ...가 있습니다.
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정의에 따라 평균 0과 표준편차 1입니다.
표준 정규 분포의 중앙 95%에 대한 임계값 z*는 약... (소수점 둘째 자리)
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z* = 1.96은 양쪽 꼬리에 각각 2.5%를 남깁니다.
표본 통계치의 z 점수는 해당 표본 분포의 표준편차를 사용합니다.
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단일 표본의 원시 데이터 산란이 아니라 표본 분포의 표준편차입니다.
정규 모델 하에서 큰 |z|를 가진 통계치는 ...입니다.
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큰 |z| = 중심으로부터 멀다 = 놀라운 증거입니다.