| English | 의미 |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | 기하 분포 |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 기하 확률 변수 |
첫 번째 성공까지 기다리기
- 기하 분포는 첫 번째 성공까지의 시도回数를 세는 분포입니다.
- 기하 확률 변수 $X$ = 첫 번째 성공을 얻기 위한 시도의 수입니다.
- 예: 여섯出面(6)이 나올 때까지 주사위를 몇 번 굴려야 합니까?
- 이항 분포와 달리, $n$은 고정되지 않습니다. 성공하는 순간 즉시 멈춥니다.
기하 설정
- 이항 분포와 동일한 시도 조건이지만, 다른 정지 규칙:
- 반복되는 독립적 시도로, 각 시도는 동일한 확률 $p$로 성공합니다.
- 첫 번째 성공이 나타날 때까지 계속 시도하며, 이후 멈춥니다.
- '첫 성공까지'라는 표현은 기하분포를 나타내는 신호 단어입니다.
기하 공식
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- *시도 $k$*에서 처음 성공하기 위해서는: 첫 $k-1$번은 실패하고, 그 다음에 성공해야 합니다.
- $(1-p)^{k-1}$ = 해당 실패 횟수; $p$ = 시도 $k$에서의 성공입니다.
- 확률은 $k$가 커짐에 따라 감소합니다 — 초기 성공이 가장 가능합니다.
기하 평균
- 평균(예상 시도의 수)은 다음과 같습니다:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- $p = 0.2$라면, 첫 번째 성공까지 평균적으로 $1/0.2 = 5$번의 시도가 필요합니다.
- 드문 성공($small$p$)일수록 기다리는 시간이 길어지며, 이는 직관적으로 타당합니다.
기하 분포와 이항 분포의 차이는 정지 규칙에 있습니다. 이항 분포: 고정된 $n$, 성공 횟수를 세는 것. 기하 분포: 첫 번째 성공이 나타날 때까지 진행하며, 시도回数를 세는 것. 문제에서 시도의 수를 고정했다면 이항 분포이며, "첫 번째…까지"라고 명시했다면 기하 분포입니다. 또한 기하 분포의 평균은 $1/p$입니다 — $np$가 아닙니다.
주사위를 굴려 첫 번째 6이 나올 때까지 $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — $3$째 굴림에서 첫 번째 6이 나옴.
- 기대값: 첫 번째 6이 나올 때까지 ⟨$\mu_X = 1/(1/6) = 6$⟩回의 굴림이 예상됨.
- 직관적으로 타당함 — 평균적으로 6회 굴림마다 6이 한 번씩 나타남.
기하분포 확률변수는 일정한 $p$로 독립적인 시도를 반복하여 첫 번째 성공까지의 시도 횟수를 세며, 이때 $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$이고 기대값은 $\mu_X = \frac{1}{p}$입니다. 이항분포와의 핵심 차이는 기하분포가 첫 번째 성공까지(시도 횟수가 변함) 진행되는 반면, 이항분포는 고정된 $n$을 가진다는 점입니다.
첫 성공까지 굴리기
목표가 나올 때까지 계속 굴리세요 — 이것이 기하 분포의 계수입니다.
기하 변수의 p = 0.2입니다. 시도의 평균 횟수 1/p를 구하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
다음 중 기하 분포(이항 분포 아님)에 해당하는 상황은?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
'처음 성공까지' → 기하 분포; 고정된 n → 이항 분포.
육면体 주사위를 던져서 처음 여섯이 나올 때까지(p = 1/6) 던지십시오. Expected number of rolls를 구하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
기하 공식 P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p에서 (1−p)^(k−1) 부분은 첫 k−1번 실패를 의미합니다.
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k-1회 실패한 후 k번째 시도에서 성공합니다.
기하 분포 확률 변수의 평균은 ___(성공 확률의 문자)으로 나누어 구합니다: 1 / ___
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μ = 1/p.