| English | 의미 |
|---|---|
| parameters/pəˈræmɪtəz/ | 모수 |
이항 분포의 평균
- 이항 변수의 경우 평균에 매우 간단한 공식이 있습니다:
-
$$\mu_X = np$$
- 시도 횟수 × 성공 확률 — 기대되는 성공 횟수입니다.
- 동전을 $100$회 던졌을 때, 이면이 $\mu_X = 100 \times 0.5 = 50$회 나올 것으로 기대됩니다.
이항 분포의 표준편차
- 표준편차는 다음과 같습니다:
-
$$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$$
- 성공 횟수가 일반적으로 얼마나 변동하는지를 측정합니다.
- 이 두 매개변수($\mu_X$, $\sigma_X$)가 전체 이항 분포를 요약합니다.
분포의 형태
- 형태는 $p$에 따라 달라지며, $p = 0.5$일 때 분포는 대칭입니다.
- $p < 0.5$ → 오른쪽으로 치우침; $p > 0.5$ → 왼쪽으로 치우침.
- $n$가 커질수록 형태는 더 대칭적이고 종 모양으로 변합니다(치우친 $p$인 경우에도 마찬가지입니다).
- 큰 $n$에서의 이러한 정규 분포에 가까운 형태는 향후 단원의 추론 기반이 됩니다.
문맥에 따른 해석
- 항상 문제에서 제시된 매개변수를 자신의 말로 설명해야 합니다.
- $\mu_X$: "평균적으로 약 $np$번의 성공이 있을 것입니다."
- $\sigma_X$: "성공 횟수는 보통 약 $\sigma_X$만큼 변동합니다."
- 숫자는 실제 상황과 연결되지 않으면 별 의미가 없습니다.
정리된 공식 $\mu=np$와 $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$은 이항 설정에서만 적용됩니다 — 일반적인 확률변수에는 사용하지 마십시오, 그리고 BINS 조건이 충족된 후에만 사용하십시오. 또한 표준편차는 $p(1-p)$을 사용합니다: $p=0.5$에서 최대이며, $p$이 $0$ 또는 $1$에 가까워질수록 감소합니다(극단적인 $p$은 횟수를 더 예측 가능하게 만듭니다).
자석 투수가 $p = 0.8$의 성공률을 가지고 있습니다. 그는 $n = 25$번의 슛을 시도했습니다. $X =$번 성공할 것입니다.
- 기대값: $\mu_X = 25 \times 0.8 = 20$번 성공이 예상됩니다.
- 표준편차: $\sigma_X = \sqrt{25 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2$.
- 형태: $p = 0.8 > 0.5$ → 왼쪽으로 치우침; $n=25$일 때는 비교적 종 모양입니다.
이항 변수의 모수는 $\mu_X = np$와 $\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$입니다. 분포 형태는 $p=0.5$에서 대칭을 이루며, 그 외에는 왜곡되며, $n$가 커질수록 종 모양에 더 가까워집니다. 항상 $\mu_X$과 $\sigma_X$를 문맥 속에 포함하여 해석하십시오 — 예상되는 성공 횟수와 그들의 일반적인 변동성입니다.
이항 분포의 형태
p ≠ 0.5일 때 분포는 왜곡되며, n이 클수록 종 모양에 더 가까워집니다.
이항 분포에서 n = 25, p = 0.8입니다. 평균 np를 구하십시오.
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μ = np = 25 × 0.8 = 20.
n = 25, p = 0.8일 때 표준편차 √(np(1−p))를 구하십시오.
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√(25·0.8·0.2) = √4 = 2.
이항 분포가 정확히 대칭이 되기 위해서는...
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p = 0.5일 때 대칭 분포가 됩니다.
n이 증가할수록 이항 분포는 더 종 모양으로 변하며(더 대칭적으로),
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큰 n은 형태를 정규 분포에 가깝게 밀어냅니다.
이항 분포의 표준편차 √(np(1−p))는 다음 중 언제 가장 큽니까?
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p(1−p)는 p = 0.5에서 최대값을 가집니다.