| English | 의미 |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 선형 변환 |
확대 및 이동
- 선형 변환 $aX + b$은 $a$배로 확대하고 $b$만큼 이동시킵니다.
- 기대값: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — 확대와 이동 모두 기대값에 반영됩니다.
- 표준편차: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — 확대는 확산을 늘리지만, 이동은扩散을 변화시키지 않습니다.
- 상수를 더하면 중앙은移動하지만 확산은 그대로입니다.
합과 차의 기대값
- 기대값은 항상 더하거나(또는 빼고), 조건 없이 성립합니다:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- 변수들이 독립적이든 아니든, 기댓값은 선형적으로 결합됩니다.
- 이는 규칙 중 항상 참인 쉬운 부분입니다.
합과 차의 표준편차
- 분산은 독립적인 변수의 합이나 차에서도 더해집니다: even for a difference:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- 따라서 $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- **$+$**에 주의하세요: 변수를 때에도 분산을 더해야 합니다.
독립적 정규변수의 결합
- 독립적 정규 확률변수의 합이나 차 역시 정규분포를 따릅니다.
- 그 기댓값과 표준편차는 위 규칙($\mu$은 더/빼고; 분산은 더함)에서 구할 수 있습니다.
- 따라서 결합된 변수에 대한 확률을 정규 모델로 구할 수 있습니다.
- 이를 통해 다변수 문제의 많은 부분을 한 번에 깔끔하게 해결할 수 있습니다.
두 가지 함정. (1) 변수를 뺄 때에도 분산은 여전히 더해야 합니다($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — 분산은 절대 빼지 마세요. (2) 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다($\sigma_X+\sigma_Y$是错误的); 분산을 더한 뒤 제곱근을 취하세요. 두 규칙 모두 변수가 독립적이어야 합니다.
$X$ (평균 $10$, 표준편차 $3$)과 $Y$ (평균 $4$, 표준편차 $4$)는 독립적(independent) 입니다.
- $X-Y$의 합: $10 - 4 = 6$.
- 분산: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (합이든 차이든 더함).
- $X-Y$의 표준편차: $\sqrt{25} = 5$.
선형 변환: ⟨$\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ but $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (이동은 확산에 영향을 미치지 않음). 기대값은 항상 더하거나(또는 빼고), 독립적인 변수의 경우 분산은 더합니다($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — 차이일 때도 마찬가지입니다. 독립적 정규변수의 결합은 정규분포를 따릅니다.
결합된 정규 변수
독립된 정규 변수들의 합/차도 정규분포를 따릅니다.
X의 평균이 10이고 Y의 평균이 4일 때 X − Y의 평균을 구하십시오.
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평균은 차감: 10 − 4 = 6입니다.
X의 표준편차가 3이고 Y의 표준편차가 4이며 독립일 때 X − Y의 표준편차를 구하십시오.
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분산은 합: 9 + 16 = 25이므로 표준편차(SD) = 25 = 5입니다.
두 독립 무작변량을 뺄 때, 분산을 뺍니다.
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차이であっても 분산은 더합니다 — 절대 뺍니다.
변환 2X + 5에 대해 표준편차는 ...가 됩니다.
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표준편차는 |a|에 의해 Scaling되지만 이동 +5는 Spread에 영향을 주지 않습니다.
독립 변수들의 표준편차를 결합하려면 표준편차를 직접 더해야 합니다.
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표준편차(SDs)를 더하지 말고 분산을 더한 후 제곱근을 취하십시오.