| English | 의미 |
|---|---|
| mean/miːn/ | 평균 |
| median/ˈmiːdiːən/ | 중위수 |
| Range/reɪndʒ/ | 극차 |
| Standard deviation/ˈstændəd ˌdiːvɪˈeɪʃn/ | 표준편차 |
| resistant/rɪˈzɪstənt/ | 신뢰도 높은 |
데이터를 요약하는 수치
- 그래프는 모양을 보여주며, 요약 통계는 분포를 몇 가지 핵심 수치로 압축한다.
- 두 가지 역할: 중심(일반적인 값)을 측정하고 확산(변동 정도)을 측정하는 것.
- 어떤 수치를 사용할지는 모양에 따라 다르다 — 특히 외계치가 있는지 여부가 중요하다.
- 이러한 요약은 이후 모든 추론의 근간이 된다.
중심의 측정
- 평균 $\bar{x}$은 산술 평균이다: 모든 값을 더하고, 개수로 나눈다.
- 중앙값은 데이터를 정렬했을 때 가운데에 있는 값이다(개수가 짝수이면 중간 두 값의 평균을 취함).
- 대칭 분포에서는 둘이 비슷하나, 치우침된 분포에서는 차이가 난다.
- 평균은 긴 꼬리 쪽으로 끌려갈 수 있으나, 중앙값은 제자리를 지킨다.
데이터의 중심과 산포
평균과 중앙값은 중심을 표시하고, 범위, IQR, 표준편차는 산포를 측정합니다.
$4, 5, 6, 7, 100$의 중앙값을 구하시오.
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정렬된 데이터의 중간 값은 $6$입니다.
$4,5,6,7,100$에서, 평균($24.4$)은 값 $100$에 의해 위로 끌려갑니다.
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평균은 극단값에 민감합니다.
확산의 측정
- 범위 = 최대값 − 최소값 (간단하지만 극단값에 민감함).
- 사분위 범위(IQR) $=Q_3-Q_1$ — **중간 $50\%$**의 확산이다.
- 표준편차 $s_x$ — 값들이 평균으로부터的平均적인 거리이다.
- 확산 수치가 클수록 변동성이 크다.
데이터 세트가 $Q_1=5$와 $Q_3=7$일 때 IQR을 구하십시오.
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$\text{IQR}=Q_3-Q_1=7-5=2$.
견고성 vs 민감성
- 중앙값과 IQR은 **견고(resistant)**하다 — 외계치가 거의 움직이지 않게 한다.
- 평균과 표준편차는 **민감(sensitive)**하다 — 한 개의 극단값이 크게变动할 수 있다.
- 따라서 치우침된 데이터나 외계치가 있는 데이터에는 중앙값과 IQR을 보고하라.
- 외계치 규칙: 값이 $Q_1-1.5\times\text{IQR}$보다 낮거나 $Q_3+1.5\times\text{IQR}$보다 높으면 외계치이다.
어떤 측정치가 이상치에 저항성이 있습니까?
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중앙값과 IQR은 이상치에 저항성이 있지만, 평균과 표준편차는 그렇지 않습니다.
$1.5\times\text{IQR}$ 규칙에 따르면, 높은 이상치는 ...보다 큰 모든 값입니다.
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사분위로부터 측정: $Q_3+1.5\,\text{IQR}$.
강하게 치우친 데이터에 가장 좋은 중심/산포 요약은 ...입니다.
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저항성 측정치는 치우친 데이터에 적합합니다.
모양에 맞춰 요약을 매칭하라: 치우침된 데이터나 외계치에는 견고한 중앙값과 IQR을 사용하라 — 평균과 표준편차는 극단값에 끌려간다. 그리고 $1.5\times\text{IQR}$ 규칙은 평균이 아닌 사분위수(quartiles) ($Q_1,Q_3$)로부터 측정된다: 값이 $Q_1-1.5\,\text{IQR}$보다 낮거나 $Q_3+1.5\,\text{IQR}$보다 높으면 경고하라.
데이터: $4, 5, 6, 7, 100$.
- 평균 $=\tfrac{4+5+6+7+100}{5}=24.4$ ($100$에 의해 끌어올림됨). 중앙값 $=6$ (영향 없음).
- 이 경우 일반적인 값을 더 잘 나타내는 것은 중앙값($6$)이다.
- $Q_1=5$, $Q_3=7$, $\text{IQR}=2$를使用后于: $100>7+1.5(2)=10$, 따라서 $100$은 외계치이다.
중심을 평균 $\bar{x}$ 또는 중앙값으로 요약하고, 확산을 범위, IQR $=Q_3-Q_1$, 또는 표준편차 $s_x$로 요약하라. 중앙값과 IQR은 외계치에 견고하므로 치우침된 데이터에는 이를 선호하라. $1.5\times\text{IQR}$ 규칙을 사용하여 외계치를 경고하라.