| English | 의미 |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 변화율 |
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | 매개변수 함수 |
How fast, and which way?
- Knowing where a ball is at each moment is good; knowing how fast it moves is better.
- Speed and direction together make velocity — and both come from rates of change.
- With a parametric path, we ask how quickly $x$ and $y$ each change with time.
- Those two rates combine into the velocity of the moving point.
Rates of the two coordinates
- The horizontal rate of change 变化率 is $\dfrac{dx}{dt}$ — how fast the point moves sideways.
- The vertical rate is $\dfrac{dy}{dt}$ — how fast it moves up or down.
- For a parametric function 参数方程函数, these are the two velocity components.
- Over an interval, the average rate is $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ or $\dfrac{\Delta y}{\Delta t}$.
움직이는 점에게, ⟨$\dfrac{dx}{dt}$⟩와 ⟨$\dfrac{dy}{dt}$⟩는 …입니다…
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각 좌표의 변화율은 속도 성분입니다: ⟨$dx/dt$⟩는 수평 방향, ⟨$dy/dt$⟩는 수직 방향입니다.
Velocity is tangent to the path
- Combine the two components and you get a velocity arrow.
- That arrow always points tangent to the curve — the current direction of travel.
- A long arrow means fast motion; a short one means slow.
- Following the arrows along the path shows the object speeding up and slowing down.
점이 ⟨$x = 3t$⟩를 가지고 있을 때, 임의의 구간에 대한 평균 수평 변화율 ⟨$\Delta x/\Delta t$⟩는 무엇입니까?
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$x = 3t$이 선형이므로, 어디에서나 ⟨$\Delta x/\Delta t = 3$⟩ — 일정한 수평 속도입니다.
속도 벡터는 경로에 ____ — 운동 방향으로 향합니다.
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속도는 항상 곡선에 접선하며, 물체가 현재 이동하는 방향을 가리킵니다.
매개변수 변화율에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
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변화율은 위치가 아닌 변화를 측정합니다. 나머지 세 가지가 맞습니다.
When a rate is zero
- If $\dfrac{dy}{dt} = 0$ for an instant, the vertical motion has momentarily stopped.
- That is exactly the top of a thrown ball's arc, where it stops rising before falling.
- If $\dfrac{dx}{dt} = 0$, the horizontal motion pauses — the path is momentarily vertical.
- These zero-rate moments mark the turning points of the motion.
곡선 위의 변화율
y = x^2
접선의 기울기는 변화율이며, 매개변수 곡선에서는 (dy/dt)를 (dx/dt)로 나눈 값입니다.
어떤 순간에 $dy/dt = 0$이라면, 수직 운동은 일시적으로 멈춥니다.
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수직 속도 성분이 0이라는 것은 $y$이 순간적으로 변하지 않는다는 것을 의미합니다. 예를 들어, 던진 공의 궤적 최상단부입니다.
Interpreting the motion
- Positive $dx/dt$: moving right; negative: moving left. Same idea vertically.
- Compare the two rates to see whether the point climbs steeply or drifts sideways.
- Constant rates mean straight-line, steady motion; changing rates mean curving or accelerating.
- The rates turn the static path into a full description of the movement.
The rate $dx/dt$ is a velocity, not a position or a distance. A point can be far from the origin yet moving slowly, or near it yet moving fast — position and rate of change are independent.
A point has $x = 3t$ and $y = 20t - 5t^2$.
- Horizontal rate: $\dfrac{dx}{dt} = 3$ (constant) — steady sideways speed.
- Vertical rate: $\dfrac{dy}{dt} = 20 - 10t$, which is $0$ at $t = 2$.
- So at $t = 2$ the ball is momentarily neither rising nor falling — the top of its arc.
In a parametric function, the rates of change $\dfrac{dx}{dt}$ and $\dfrac{dy}{dt}$ are the horizontal and vertical velocity components. Their combination is tangent to the path, and a zero rate marks where that direction of motion momentarily stops.