| English | 의미 |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 변화율 |
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | 극함수 |
How fast does the radius change?
- On a polar curve, as the angle sweeps around, the radius rises and falls.
- The question "how fast is $r$ changing per unit of angle?" is a rate of change.
- It tells you whether the curve is winding outward, inward, or holding steady.
- This links the rate-of-change ideas of Unit 1 to the polar world.
The average rate of change of r
- A polar function 极坐标函数 is $r = f(\theta)$, so we can measure how $r$ changes with $\theta$.
- The average rate of change 变化率 over an interval is $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$ — change in radius over change in angle.
- A positive value means the radius is growing; negative means it is shrinking.
- It is exactly the "output over input" rate, applied to $r$ and $\theta$.
$\theta$가 증가할 때, $r$이 증가하면 곡선은…
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반지름이 커지면 점은 바깥쪽으로 멀어지며 — 곡선은 바깥쪽으로 나선형을 그립니다.
Spiralling out or in
- If $r$ is increasing as $\theta$ grows, the curve moves farther from the origin — spiralling outward.
- If $r$ is decreasing, the curve winds inward toward the pole.
- A spiral like $r = \theta$ has a steadily positive rate, so it forever widens.
- The size of the rate sets how quickly the curve winds.
각도가 회전함에 따라 반지름이 커지는 것을 확인하세요
나선형에서 r은 theta에 따라 증가합니다. r의 변화율은 곡선이 바깥쪽으로 감기는 속도를 결정합니다.
$r$의 구간의 평균 변화율은 $\theta$이며, 이는 반지름의 변화량 대비 ____의 변화량인 $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$입니다.
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이는 단위 각도당 반지름이 얼마나 빠르게 변하는지를 측정하며 — 극좌표에서의 기울기입니다.
극함수의 변화율에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
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$r$가 일정하면 바깥쪽 나선형이 아닌 원호를 그리게 됩니다. 나머지 세 가지가 맞습니다.
When the rate is zero
- Where the rate of change of $r$ is zero, the radius is momentarily constant.
- A constant radius over an interval traces an arc of a circle.
- So a flat stretch in $r$ appears as a rounded, circular part of the curve.
- Peaks and troughs of $r$ are where the curve is farthest out or closest in.
$r$이 $\theta$의 증가에 따라 감소하면 곡선은 원점 안쪽으로 나선형으로 들어갑니다.
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반지름이 줄어든다면 점은 극점 쪽으로 당겨지며, 곡선은 안쪽으로 감깁니다.
$r$의 변화율이 구간에 걸쳐 0이라면, 해당 지점의 곡선은…
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0의 변화율은 $r$가 일정함을 의미하므로, 점은 동일한 거리 유지하며 — 원의 호를 그리게 됩니다.
Reading the motion
- Track $r$ against $\theta$ to predict how the polar curve behaves.
- Rising $r$: petals or loops reaching outward. Falling $r$: returning toward the centre.
- Zero crossings of $r$ are where the curve passes through the origin.
- The rate of change turns a static picture into a story of motion.
The rate here is the change in radius per angle, not the speed of a point along the curve. A large $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ means the distance from the origin is changing quickly — it does not directly measure how fast you travel around the curve.
For the spiral $r = \theta$, compare the radius at $\theta = 1$ and $\theta = 3$.
- $r$ goes from $1$ to $3$ as $\theta$ goes from $1$ to $3$.
- Average rate of change $= \dfrac{3 - 1}{3 - 1} = 1$: the radius grows one unit per radian.
- Positive and constant, so the spiral opens outward at a steady pace.
For a polar function $r = f(\theta)$, the average rate of change $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ tells how the radius changes with angle: positive → spiralling outward, negative → inward, zero → a circular arc. It applies Unit 1's rate-of-change idea to $r$ and $\theta$.