| English | 의미 |
|---|---|
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | 극함수 |
| rose/rəʊz/ | 장미 곡선 |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | 심장형 곡선 |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 극좌표 |
꽃처럼 피어나는 곡선
- 직교 그래프에서 $y$은 $x$에 의존합니다. 극 그래프에서는 반지름이 각도에 의존합니다.
- 각도가 회전함에 따라 반지름이 커졌다 작아지면서 놀라운 모양을 그립니다.
- 꽃, 하트, 나사선 등 다양한 형태가 간단한 극 규칙으로부터 나타납니다.
- 이러한 곡선은 $x$과 $y$으로 쓰기 어렵지만, $r$과 $\theta$으로는 쉽게 표현할 수 있습니다.
극함수의 의미
- 극함수는 $r = f(\theta)$ 형태의 식으로, 각 각도에 대해 하나의 반지름을 가집니다.
- 이를 그리려면 $\theta$을 회전시키면서 해당 방향으로 거리 $r$ 떨어진 점을 표시합니다.
- $r$이 클 때 곡선이 멀리 어나가고, $r = 0$일 때 원점을 만듭니다.
- 전체 그래프는 각도를 하나씩 더하며 그려집니다.
극함수 $r = f(\theta)$은 각 각도에 대해 …을 제공합니다…
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극함수는 각 입력 각도에 대해 반지름을 출력하며, $(f(\theta), \theta)$를 좌표평면에 그리면 곡선이 나타납니다.
단순한 극 방정식 $r = 3$(상수)은 원입니다.
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모든 각에서 일정한 반지름은 원점을 중심으로 해당 반지름의 원을 그립니다.
장미와 기타 모양
- $r = a\sin(k\theta)$ 또는 $a\cos(k\theta)$은 장미곡선(꽃잎이 달린 꽃)을 그립니다.
- $k$이 홀수일 때 $k$개의 꽃잎이, $k$이 짝수일 때 $2k$개의 꽃잎이 생깁니다.
- $r = a(1 + \sin\theta)$은 하트 모양의 카르디오이드를 그립니다.
- 상수 $r = a$은 단순히 반지름 $a$인 원입니다.
극 곡선을 꽃잎처럼 그려보세요
극함수는 각 theta에 대해 r을 지정합니다. theta를 회전시키면 반지름이 장미, 원 또는 나선형을 그리게 됩니다.
곡선 $r = a\sin(3\theta)$는 꽃잎이 몇개인 장미 곡선입니까?
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$r = a\sin(k\theta)$에서 $k$이 홀수일 때, 장미 곡선은 정확히 $k$개의 꽃잎을 가집니다 — 여기서는 $3$개입니다.
하트 모양의 극 곡선 $r = 1 + \sin\theta$은 _____라고 부릅니다.
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카르디오이드(“하트 모양”)는 형태 $r = a(1 + \sin\theta)$의 고전적인 극 곡선입니다.
극 그래프에 대한 모든 참인 진술을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
극 그래프에는 원, 장미, 카르디오이드, 나선형 등이 포함되며 — 드물게 직선입니다. 나머지 세 가지는 모두 맞습니다.
점별로 그리기
- 표를 만드십시오: 각도를 선정하고 각도마다 $r$을 계산한 후 점을 표시합니다.
- $r = 0$(곡선이 원점을 지날 때)과 $r$(최대값이 될 때)이 어디인지 확인하십시오.
- $\theta$이 증가하는 순서에 맞춰 점들을 매끄럽게 연결하십시오.
- 패턴은 보통 한 바퀴(혹은 짝수 장미라면 반바퀴) 이후에 반복됩니다.
대칭성을 이용하세요
- 많은 극 곡선이 축에 대해 대칭이므로, 그리기 작업을 절반으로 줄일 수 있습니다.
- $\sin$ 곡선은 주로 수직축에 대해, $\cos$ 곡선은 수평축에 대해 대칭인 경우가 많습니다.
- 대칭성을 발견하면 일부분만 스케치하고 나머지 부분을 거울처럼 대칭으로 그릴 수 있습니다.
- 극좌표로 다시 변환하여 각 특징이 정확히 어디에 있는지 확인할 수 있습니다.
극 그래프를 직교그래프처럼 읽지 마십시오. 원점으로 돌아오는 "루프"는 함수가 정의되지 않았다는 뜻이 아니라, $r$이 $0$을 지났음을 의미합니다. 또한 한 점은 여러 다른 각도로 도달할 수 있으므로, 동일한 곡선이 여러 번 그려질 수도 있습니다.
$r = 2\cos\theta$을 $0 \le \theta \le \pi$ 구간에서 스케치하십시오.
- $\theta = 0$일 때: $r = 2$ ($2$단위 오른쪽의 점).
- $\theta = \tfrac{\pi}{2}$일 때: $r = 0$ (원점).
- 점들은 원점 오른쪽에 위치한 지름 $2$의 원을 그립니다.
극함수 $r = f(\theta)$은 각 각도에 대해 반지름을 제공합니다. $\theta$을 회전시키면 원, 장미곡선($r = a\sin k\theta$), 카르디오이드($r = a(1+\sin\theta)$), 나사선이 그려집니다. 극좌표를 사용하여 점별로 그리거나 대칭성을 활용하여 스케치 속도를 높일 수 있습니다.