| English | 의미 |
|---|---|
| identity/aɪˈdentɪti/ | 항등식 |
| equivalent/ɪˈkwɪvələnt/ | 등가 |
| Pythagorean identity/ˈpaɪθəɡɔːrɪən aɪˈdentɪti/ | 피타고라스 항등식 |
| sine/saɪn/ | 사인 |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 코사인 |
Same expression, two faces
- 같은 삼각 양은 겉보기엔 같지만 실제로는 다른 여러 방식으로 표현될 수 있습니다.
- $\sin^2\theta$이 $1 - \cos^2\theta$로, $\tan\theta$이 $\tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$로 바뀔 수 있습니다.
- 이러한 치환은 모든 각에 대해 성립하는 항등식에 의해 가능해집니다.
- 적절한 형태를 선택하면 어려운 문제를 쉬운 것으로 만들 수 있습니다.
What an identity is
- 삼각항등식은 모든 유효한 각에 대해 참인 등식입니다.
- 이는 특정 각에서만 성립하는 방정식을 푸는 것과 다릅니다.
- 항등식으로 연결된 두 식은 모든 곳에서 동치(equivalent) 입니다.
- 따라서 도움이 될 때마다 하나를 다른 하나로 대체할 수 있습니다.
피타고라스 항등식이 성립함을 확인하세요
임의의 각에 대해 단위 원 위의 점은 cos² + sin² = 1을 만족합니다 — 가장 중요한 삼각 항등식입니다.
삼각 항등식은 …에서 참인 등식입니다…
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항등식은 특정 값을 구하기 위한 방정식과 달리 모든 유효한 입력값에 대해 성립합니다.
The Pythagorean identity
- 가장 핵심이 되는 항등식은 피타고라스 항등식입니다: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
- unit circle(단위 원)에서 바로 유래하는데, 여기서 $(\cos\theta, \sin\theta)$의 반지름은 $1$입니다.
- 변형하면 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$과 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$을 얻을 수 있습니다.
- $\cos^2$ 또는 $\sin^2$로 나누면 세컨트와 코세칸트 형태의 버전을 얻습니다.
피타고라스 항등식은 다음과 같이 말합니다…
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단위 원 위의 점 $(\cos\theta, \sin\theta)$은 반지름이 $1$이므로: $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$.
삼각 항등식에 대한 모든 참인 진술을 선택하십시오.
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항등식은 하나의 각뿐만 아니라 모든 각에 대해 참입니다. 나머지 세 가지는 모두 맞습니다.
A toolbox of identities
- 역함수 항등식: $\sec = \tfrac{1}{\cos}$, 그리고 유사한 것들.
- 비율 항등식: $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- 짝/홀 함수: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, $\cos(-\theta) = \cos\theta$.
- 이들을 함께 사용하면 거의 모든 삼각 식을 새로운 형태로 다시 쓸 수 있습니다.
만약 $\sin\theta = 0.6$이라면, 피타고라스 항등식으로부터 $\cos^2\theta = 1 - 0.36 =$ ____을 알 수 있습니다.
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$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$, 따라서 $\cos\theta = \pm 0.8$입니다.
항등식을 사용하면 삼각 식을 더 쉽게 다룰 수 있는 동등한 형태로 바꿀 수 있습니다.
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이것이 그들의 주요 용도입니다: 식을 간소화하거나 방정식을 풀기 위해 동일한 형식으로 교체합니다.
Using identities
- 단순화하려면 식의 일부를 동등한 형태로 교체하여 최종적으로 줄여내십시오.
- 방정식을 풀 때는 모든 것을 하나의 함수(예: 모든 사인)로 재표현하십시오.
- 항등식을 증명하려면 한쪽을 변환하여 다른 쪽과 일치하게 하십시오.
- 사인과 코사인 형태가 일반적으로 가장 안전한 목표입니다.
항등식은 모든 각에 대해 성립하므로 양변이 어디에서나 일치해야 합니다—단일 값을 대입해서 "증명"할 수는 없습니다. $\theta = 0$을 테스트하면 거짓인 항등식을 반证할 수 있지만, 한 각만 확인해서는 참인 항등식을 증명할 수 없습니다.
$\sin\theta = 0.6$이 주어지고 $\theta$가 예각일 때, $\cos\theta$을 구하십시오.
- 피타고라스 항등식: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$.
- 따라서 $\cos\theta = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$입니다.
- $\theta$이 예각이므로 코사인은 양수입니다: $\cos\theta = 0.8$.
삼각 항등식은 모든 각에 대해 참이므로, 식을 동치인 다른 식으로 교체할 수 있게 해줍니다. 핵심 항등식은 피타고라스 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$이며, 역함수 및 비율 항등식과 결합되어 어떤 삼각 식도 사인과 코사인 형태로 다시 쓸 수 있습니다.