| English | 의미 |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | 주기 |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 역함수 |
| sine/saɪn/ | 사인 |
When does the wave hit a target?
- "At what times is the tide exactly $3$ m?" becomes a trig equation.
- Because the wave repeats, the answer is not one time but a whole rhythm of times.
- Solving means finding every angle where the function equals a target value.
- The unit circle and the period together deliver them all.
Finding the first solution
- To solve $\sin x = 0.5$, first find one angle with the inverse 反函数: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$.
- That gives a single "starter" solution inside the restricted range.
- For cosine or tangent, use $\arccos$ or $\arctan$ the same way.
- This first angle is the seed from which all others grow.
$\sin x = 0.5$의 첫 해를 찾으려면…을 사용합니다
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역함수가 하나의 각도를 니다: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). 나머지는 대칭성을 사용하여 구하세요.
Then find them all
- The sine 正弦 wave meets a horizontal target line once every cycle, forever.
- So a trig equation usually has infinitely many solutions.
- Use the symmetry of the graph to find the second solution within one period.
- Then add whole multiples of the period 周期 to generate the endless rest.
모든 교점은 해입니다
y = sin x
사인파가 수평 목표선과 계속 만나므로 삼각방정식은 끝없이 많은 해를 가집니다.
모든 실수에서 $\sin x = 0.5$는…을 가집니다
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이 파동은 매 주기마다 직선 $y = 0.5$과 한 번씩 만나며, 영원히 — 무한히 많은 해를 가집니다.
모든 해를 나열하려면 첫 해에 ____의 정수 배를 더합니다.
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사인 함수는 주기적으로 반복되므로, 그 주기 ($2\pi$)의 어떤 배수를 더해도 다른 해가 됩니다.
삼각 방정식에 대한 모든 참인 진술을 선택하십시오.
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사인 함수는 ⩽ $1$로 제한되므로, $\sin x = 5$에는 해가 없습니다. 나머지 세 가지가 모두 맞습니다.
Inequalities
- A trig inequality like $\sin x > 0.5$ asks for the intervals where the wave is above a line.
- Solve the matching equation first to find the boundary angles.
- Then read off which arcs of the wave satisfy the inequality.
- The answer is a repeating set of intervals, one per period.
방정식 $\sin x = 2$에는 해가 없습니다.
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사인 함수는 ⩽ $1$을 넘지 않으므로, $\sin x = 2$은 절대 일어나지 않습니다 — 해가 존재하지 않습니다.
When there is no solution
- Sine and cosine never leave $[-1, 1]$, so $\sin x = 2$ has no solution at all.
- Always check that the target value is reachable before solving.
- A tangent target, by contrast, is always reachable, since tangent is unbounded.
- Knowing each function's range saves you from chasing impossible answers.
Do not report just the calculator's one answer. $\arcsin(0.5)$ gives $\tfrac{\pi}{6}$, but $\sin x = 0.5$ also holds at $\tfrac{5\pi}{6}$ and at every $+2\pi$ beyond both. A trig equation almost always has more solutions than the inverse alone reveals.
Solve $\cos x = 0$ for all $x$.
- One solution: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$.
- Cosine is also $0$ at $\tfrac{3\pi}{2}$ — that is $\tfrac{\pi}{2} + \pi$.
- So the full solution is $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ for every integer $k$.
To solve a trig equation, use the inverse for a first angle, then the graph's symmetry and the period to list every solution — often infinitely many. Check the target is within the function's range first (sine and cosine cannot exceed $1$). Inequalities give repeating intervals.