| English | 의미 |
|---|---|
| sine/saɪn/ | 사인 |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 역함수 |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | 일대일 대응 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 정의역 |
비율에서 각도 되돌리기
- 사인은 각도를 비율로 변환하지만, 때로는 이를 반대로 진행해야 할 필요가 있습니다.
- "사인이 $0.5$인 각은 무엇인가?"라는 질문은 역함수만이 답할 수 있는 문제입니다.
- 경사면, 위성 안테나, 항법 등 모두 측정된 비율로부터 각도를 구해야 합니다.
- 역삼각함수는 정확히 이러한 역연산을 수행합니다.
역함수가 하는 일
- 사인의 역함수인 $\arcsin$ 또는 $\sin^{-1}$은 값을 받아 한 각도를 반환합니다.
- $\arcsin(0.5) = 30°$입니다. 왜냐하면 $\sin 30° = 0.5$이기 때문입니다.
- 마찬가지로 $\arccos$과 $\arctan$은 코사인 및 접선의 역연산을 수행합니다.
- 각 함수는 자신의 삼각함수를.undo하여 특정 값을 생성했던 각도를 복원합니다.
역함수 $\arcsin$ (또는 $\sin^{-1}$)는 값을 받아…
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역함수인 사인파는 이를 반전시킵니다: $\arcsin(0.5)$는 $0.5$의 사인파가 되는 각도이며, 그것은 바로 $30°$입니다.
제한이 필요한 이유
- 사인은 일대일 대응하지 않습니다: 무수한 각도가 동일한 사인 값을 공유합니다.
- 모든 것을 역으로 계산한다면 '역함수'는 동시에 여러 답을 줄 것인데, 이는 함수의 정의에 위배됩니다.
- 따라서 정역(Normal domain) 을 한 개의 증가하는 구간으로 제한합니다. 이 구간은 $-\tfrac{\pi}{2}$부터 $\tfrac{\pi}{2}$까지입니다.
- 해당 제한된 정역 내에서 각 출력값은 오직 하나의 각도에 의해 생성됩니다.
비율에서 다시 각도로
역삼각함수는 역질문을 답합니다 — 사인파 또는 코사인파 값이 주어졌을 때, 이것이 생성된 각도는 무엇입니까?
왜 사인파를 제한하기 전에 역함수가 될 수 없습니까?
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많은 각도가 같은 사인파를 공유하므로 사인파는 일대일 대응이 아닙니다. 정의역을 제한하면 입력당 하나의 출력을 고정합니다.
$\arcsin(1)$(라디안)는 무엇입니까?
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$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, 따라서 $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — 제한된 범위 내의 각도입니다.
역삼각함수에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
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역함수는 모든 것이 아닌 하나의 각도만 (제한된 범위 내에서) 반환합니다. 나머지 세 가지가 맞습니다.
역함수의 그래프
- 역함수이므로 제한된 삼각함수 그래프를 $y = x$에 대해 대칭 이동한 것입니다.
- $\arcsin$의 정역은 $[-1, 1]$(모든 유효한 사인 값)이며, 범위는 $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$입니다.
- $\arccos$ 역시 같은 정역을 가지지만 범위는 $[0, \pi]$입니다.
- 이 함수들의 입력값은 비율이고, 출력값은 각도입니다.
역삼각함수의 그래프는 제한된 삼각함수 그래프를 $y = x$에 대해 대칭이동한 것입니다.
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모든 역함수와 마찬가지로 입력과 출력을 바꾸면 그래프를 직선 $y = x$에 대해 대칭이동합니다.
값 읽기
- $\arccos(0)$을 구하려면 "정역 $[0,\pi]$ 중에서 코사인 값이 $0$인 각도는 무엇인가?"라고 묻습니다. — 정답은 $\tfrac{\pi}{2}$입니다.
- 역함수는 제한된 범위 내의 단일 각도인 주각(Principal value) 을 반환합니다.
- 다른 각도들도 조건을 만족할 수 있지만, 역함수는 오직 하나만 보고합니다.
- 나머지 각도를 구하려면 전체 회전수를 더하거나 대칭성을 활용하세요.
역함수는 주각만 제공하며 모든 해를 제공하지는 않습니다. 예를 들어, $\arcsin(0.5) = 30°$일 때 코사인은 $150°$이지만, 코사인이 $0.5$인 다른 각도도 존재합니다. 방정식을 풀 때는 모든 각도를 직접 찾아야 하며, 역함수는 단 하나의 값만 줍니다.
기울기가 $3$m인 경사면의 길이가 $6$m일 때, 이 경사는 어떤 각도를 이루는가?
- 이 각도의 사인 값은 $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$입니다.
- 따라서 각도는 $\arcsin(0.5) = 30°$입니다.
- 역함수는 측정된 비율을 다시 우리가 원하는 각도로 되돌려 주었습니다.
역삼각함수는 비율에서 각도를 반환합니다: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. 삼각함수는 일대일 대응이 아니므로 먼저 정역(Normal domain) 을 제한해야 합니다. 역함수의 그래프는 제한된 사인/코사인/접선을 $y = x$에 대해 대칭 이동하며, 오직 주각만 보고합니다.