| English | 의미 |
|---|---|
| sine/saɪn/ | 사인 |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | 코사인 |
| period/ˈpɪərɪəd/ | 주기 |
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | 진폭 |
| midline/ˈmɪdlaɪn/ | 중심선 |
Unrolling the circle into a wave
- Imagine the point spinning around the unit circle, and track just its height over time.
- Plot that height against the angle, and a smooth wave appears.
- That wave is the graph of sine — the circle unrolled.
- Cosine is the same idea, tracking the horizontal coordinate instead.
The sine graph
- The sine 正弦 graph $y = \sin x$ starts at $0$, rises to $1$, falls through $0$ to $-1$, then returns.
- One full cycle takes $2\pi$ before the pattern repeats.
- It swings a fixed distance above and below the horizontal axis.
- The result is the classic smooth, rolling wave.
사인 파동을 추적하다
y = a·sin(b(x − c)) + d
이는 진폭 1, 중간선 y = 0, 주기 2π인 기본 사인 파동입니다. 반복되는 것을 보십시오.
기본 사인 그래프 $y = \sin x$는 ($x = 0$에서) 높이…로 시작합니다
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$\sin 0 = 0$이므로 사인 파동은 중간선에서 시작하여 최대값 $1$까지 상승합니다.
The cosine graph
- The cosine 余弦 graph $y = \cos x$ has the exact same shape.
- But it starts at its peak $1$ (since $\cos 0 = 1$), a quarter-period ahead of sine.
- In fact, $\cos x = \sin\!\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ — cosine is sine shifted left.
- So learning one wave essentially gives you both.
기본 코사인 그래프 $y = \cos x$는 ($x = 0$에서) 높이…로 시작합니다
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$\cos 0 = 1$이므로 코사인은 최대값에서 시작하며, 사인보다 한 사분기 앞서 있습니다.
$y = \sin x$과 $y = \cos x$에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
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두 그래프는 진動하며 영원히 증가하지 않습니다. 나머지 세 가지는 모두 맞습니다.
Amplitude, midline, and period
- The parent waves have amplitude 振幅 $1$: they rise $1$ above and dip $1$ below.
- Their midline 中线 is $y = 0$, the level they oscillate around.
- Their period 周期 is $2\pi$, the horizontal length of one cycle.
- Every other sine-shaped graph is one of these, stretched or shifted.
기본 사인과 코사인 그래프 각각의 주기는 ____ 라디안입니다.
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완전한 사이클 하나를 ⟨$2\pi$⟩ 전까지 이어지며 파동이 반복됩니다 — 기본 함수들의 주기입니다.
기본 사인과 코사인 그래프는 진폭 $1$, 중간선 $y = 0$을 가집니다.
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$-1$와 $1$ 사이에서 진動합니다: 진폭 $1$, 중간선 $y = 0$ 위아래로
Reading the wave
- To sketch a cycle, mark five key points: start, peak, middle, trough, end.
- For sine those heights are $0, 1, 0, -1, 0$ across one period.
- For cosine they are $1, 0, -1, 0, 1$.
- Join them with a smooth curve and repeat left and right forever.
Sine and cosine graphs never stop or level off — they oscillate forever between $-1$ and $1$. Do not draw them flattening toward an asymptote; unlike exponentials and logs, they simply keep waving.
Where does $y = \sin x$ first reach its maximum, and its minimum?
- Maximum $1$ occurs at $x = \tfrac{\pi}{2}$ (a quarter of the way through a cycle).
- Minimum $-1$ occurs at $x = \tfrac{3\pi}{2}$ (three-quarters through).
- Both repeat every $2\pi$ thereafter.
The sine and cosine graphs are the unit circle unrolled: smooth waves with amplitude $1$, midline $y = 0$, and period $2\pi$. They are identical in shape, offset by a quarter period, so $\cos x = \sin(x + \tfrac{\pi}{2})$.