| English | 의미 |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 지수방정식 |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | 로그방정식 |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | 외생근 |
숨겨진 지수 찾기
- "$2$를 어떤 지수로 승해야 $5$이 되는가?"라는 식은 미지수가 지수에 있는 방정식입니다.
- 단순히 나누어 버릴 수 없습니다 — 변수가 거듭제곱 내부에 갇혀 있기 때문입니다.
- 로그 함수는 이를 해방시키는 도구이며, 지수 형태는 로그 방정식을 풀기 쉽게 만듭니다.
- 이 두 단계 사이에서 거의 모든 지수 방정식과 로그 방정식을 풀 수 있습니다.
지수 방정식 풀이
- 지수 방정식은 변수가 지수에 위치하는 방정식으로, 예시 $2^x = 8$와 같습니다.
- 양변이 같은 밑을 공유할 수 있다면, 이를 일치시켜야 합니다: $2^x = 2^3$는 $x = 3$로 이어집니다.
- 밑이 일치하지 않는다면, 양변에 로그를 취해야 합니다.
- 그러면 거듭제곱의 법칙을 적용하여 지수를 아래로 내려와 변수를 구할 수 있습니다.
지수함수가 목표 값에 도달하는 지점 찾기
y = 2ˣ
2ˣ = 5를 풀라는 것은 이 곡선이 높이 5에 닿는 x를 찾는 것입니다. 로그를 사용하면 그 x를 정확히 구할 수 있습니다.
밑을 일치시켜 $2^x = 8$을 푼다.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$8 = 2^3$이므로, $2^x = 2^3$을 통해 $x = 3$를 얻음 — 밑이 같으면 지수도 같습니다.
밑이 일치하지 않는 $2^x = 5$을 풀려면…해야 합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
양변에 $\log$을 취하면 지수가 아래로 내려옵니다: $x = \log_2 5 \approx 2.32$.
로그 방정식 풀이
- 로그 방정식은 변수가 로그 내부에 위치한 방정식으로, 예시 $\log_2 x = 4$와 같습니다.
- 지수 형태로 다시 쓰세요: $\log_2 x = 4$는 $x = 2^4 = 16$을 의미합니다.
- 여러 개의 로그가 있다면, 먼저 하나로 은 후 변환하세요.
- 지수 형태는 단일 로그 방정식을 푸는 열쇠입니다.
로그 방정식 $\log_2 x = 4$을 푼다.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
지수 형태로 다시 쓰세요: $x = 2^4 = 16$.
외래 해 확인
- 풀이 과정에서 원래 방정식의 정의역에 위배되는 후보 해가 나올 수 있습니다.
- 로그는 양의 인자를 요구하므로, $\log(\text{negative})$를 만드는 해는 기각됩니다.
- 이러한 틀린 해를 **외래 해(extraneous solution)**라고 합니다.
- 항상 대입하여 모든 인자가 양수임을 확인하십시오.
로그의 피연산자가 음수가 되는 후보 해는 ____로 버려져야 합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
불필요한 해는 변형된 방정식은 만족하지만 원본의 정의역을 위배하므로 — 반드시 확인해야 합니다.
이 방정식을 푸는 것에 대한 참인 진술들을 모두 선택하세요.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
일부 후보 해는 불필요하여 버려져야 합니다. 나머지 세 가지가 타당한 전략입니다.
부등식
- 지수 함수와 로그 함수는 단조함수입니다 — 항상 증가하거나 항상 감소합니다.
- 따라서 $2^x > 8$와 같은 부등식은 동일한 방식으로 풀리되, 부등호 방향을 유지합니다: $x > 3$.
- 감소하는 밑($0 < b < 1$)인 경우, 부등호의 방향이 바뀝니다.
- 먼저 방정식처럼 푼 뒤, 경계면의 어느 쪽이 부등식을 만족하는지 결정하세요.
로그 방정식 해를 반드시 확인하십시오. $\log(x) + \log(x-3) = 1$를 풀면 $x = 5$ 와 $x = -2$를 줄 수 있으나, $x = -2$는 $\log(-2)$를 무효화하므로 외래 해이며 버려져야 합니다.
$2^x = 5$를 풀이하십시오.
- 밑이 일치하지 않으므로 양변에 $\log_2$를 취합니다.
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$이고, 좌변은 $x$로 간소화됩니다.
- 즉 $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — 로그가 드러낸 지수입니다.
지수 방정식은 밑을 일치시키거나 로그를 취하여 지수를 내림으로써 풉니다. 로그 방정식은 지수 형태로 다시 써서 풉니다. 항상 외래 해를 확인해야 하며, 로그의 인자는 양수여야 하기 때문입니다.