로그 식 변형하기

어휘

English	의미
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	상의 법칙
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	하의 법칙
power rule/ˈpaʊə ruːl/	거듭제곱의 미분법칙
change-of-base/tʃeɪndʒ ɒv beɪs/	바꿈의 법칙
equivalent/ɪˈkwɪvələnt/	등가

곱을 합으로 변환하기

계산기가 없던 시절, 사람들은巨大 numbers(거대한 숫자)를 곱하기 위해 그들의 log를 adding(더하여) 했습니다.
그 magic(마법)이 작동하는 이유는 log가 곱셈을 덧셈으로 바꾸기 때문입니다.
세 가지 간단한 법칙을 통해 어떤 log 표현을 expand(확장), condense(압축), 또는 re-base(바탕 변경)할 수 있습니다.
그들은 단순히 지수 규칙을 log의 거울을 통해 본 것입니다.

곱의 미분법과商的 미분법

**Product rule(곱의 법칙)**은 곱을 분할합니다: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
**Quotient rule(상의 법칙)**은 상을 분할합니다: $\log_b\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$.
안쪽의 곱셈은 바깥쪽의 덧셈이 되고, 나눈셈은 뺄셈이 됩니다.
이들은 ".setter를 곱하기 → 지수를 더하다" 및 "나누기 → 빼기"를 mirror(비유/반영)합니다.

탐색하기

법칙 뒤의 로그

y = a·log(x − b) + c

이 법칙들은 지수 규칙의 역연산에서 유래했습니다. 이 법칙들이 서술하는 로그 곡선을 탐구해 보세요.

연습

로그의 곱셈 법칙은 $\log_b(xy) =$来说합니다

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

$\log_b x + \log_b y$
$\log_b x \cdot \log_b y$
$\log_b x - \log_b y$
$\log_b(x + y)$

연습

나눗셈의 법칙은 $\log_b\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y$来说

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

지수법칙

**Power rule(승의 법칙)**은 지수를 앞으로 가져옵니다: $\log_b(x^n) = n\log_b x$.
따라서 $\log_2(8^3) = 3\log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9$입니다.
log 안에 숨겨진 승은 단순한 multipliers(승수)가 됩니다.
함께, 세 가지 법칙은 log 표현을 완전히 expand(확장)하거나 condense(압축)할 수 있습니다.

곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 법칙이 주석된 로그 곡선 — 세 가지 법칙: 곱은 합이 되고, 상은 차가 되며, 승은 승수가 됩니다.

연습

로그의 ** 거듭제곱 법칙**은 $\log_b(x^n) =$来说합니다

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

$n \log_b x$
$(\log_b x)^n$
$n + \log_b x$
$\log_b(nx)$

Change of base(바탕 변경)

계산기에는 $\log$(base 10)과 $\ln$(base $e$) 버튼만 있습니다.
Change-of-base(바탕 변경) 공식은 다른 모든 base를 처리합니다: $\log_b x = \dfrac{\log x}{\log b}$.
따라서 $\log_2 7 = \dfrac{\log 7}{\log 2} \approx 2.807$입니다.
도구에서 지원하는 base를 선택하고, 나누십시오.

연습

____ 공식을 사용하면 계산기에서 $\log_2 7$를 $\dfrac{\log 7}{\log 2}$로 계산할 수 있습니다.

난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

Expand and Condense(확장 및 압축)

*Expanding(확장)*은 left-to-right(좌측부터 우측으로) 규칙을 사용하여 하나의 log를 여러 개로 쪼개는 것입니다.
*Condensing(압축)*은 right-to-left(우측부터 좌측으로)로它们在运行以便 combine(결합)many logs into one(여러 개의 log를 하나의 log로 결합)합니다.
두 expression(표현)은 rules(법칙)를 사용하여其中一个转化为另一个(하나가 다른 것으로 변환될 수 있는 경우) equivalent(등가) 입니다.
문제에 가장 잘 맞는 form(형식)을 선택하십시오 — solving(풀이)은 보통 single log(단일 log)을 원합니다.

연습

올바른 로그 법칙을 모두 선택하세요.

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

$\log(xy) = \log x + \log y$
$\log(x^n) = n\log x$
$\log(x + y) = \log x + \log y$
$\log\!\left(\tfrac{x}{y}\right) = \log x - \log y$

Watch out

Sum(합)의 log에 대한 no(아무런) rule(법칙)이 없습니다: $\log(x + y)$ does not(절대) equal $\log x + \log y$. The laws(법칙들)은 오직 log *inside(안쪽)*의 products(곱), quotients(상), 그리고 powers(승)에만 적용됩니다. Sum(합)을 분리는 것이 가장 흔한 log mistake(실수) 중 하나입니다.

Example

$2\log x + \log y - \log z$을 하나의 log로 Condense(압축)하십시오.

Power rule: $2\log x = \log x^2$.
Product then quotient: $\log x^2 + \log y - \log z = \log\!\left(\dfrac{x^2 y}{z}\right)$.
One clean logarithm, ready to solve or evaluate(푸거나 평가하기 준비된 하나의 깔끔한 로그).

Key idea

로그 법칙은 지수 법칙을 반영합니다: 곱의 법칙은 합으로, 상의 법칙은 차이로, ** 거듭제곱의 법칙**은 곱으로 변형됩니다. 바꿈의 공식은 계산기를 사용하여 임의의的底를 평가하며, 이 법칙들은 두 형식이 동일함을 보여줍니다 — 단, $\log(x+y)$는 절대 분할해서는 안 됩니다.