| English | 의미 |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 역함수 |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | 로그함수 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 정의역 |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | 수직 점근선 |
The exponential's mirror twin
- Every exponential function has a partner that runs it backward.
- Where $2^x$ turns an exponent into a value, its partner turns a value back into the exponent.
- That partner is the logarithm — and geometrically it is a perfect mirror image.
- Understanding the pair together makes both far easier.
Log is the inverse of exponential
- The logarithmic function 对数函数 $\log_b x$ is the inverse 反函数 of the exponential $b^x$.
- They share the same base and undo each other's work.
- $b^x$ takes an exponent to a value; $\log_b x$ takes the value back to the exponent.
- So logs and exponentials are two views of one relationship.
로그함수 $\log_b x$는 지수함수 $b^x$의 ____입니다.
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서로를 undo하므로, 로그함수는 같은 base를 가진 지수함수의 역함수입니다.
Reflection across y = x
- Because they are inverses, their graphs are reflections across the line $y = x$.
- The soaring exponential becomes a slowly-rising logarithm, and vice versa.
- Every point $(a, b)$ on $b^x$ corresponds to $(b, a)$ on $\log_b x$.
- Seeing one graph, you can sketch the other by flipping across $y = x$.
로그의 대칭선이 되는 지수 곡선
y = 2ˣ
이 곡선 y = 2ˣ를 직선 y = x에 대해 반사해 봅시다. 대칭 이미지는 y = log₂ x의 그래프입니다.
Swapped domain, range, and asymptote
- Inverses swap domain and range. The exponential's range $y > 0$ becomes the log's domain 定义域 $x > 0$.
- The exponential's horizontal asymptote $y = 0$ becomes the log's vertical asymptote 竖直渐近线 $x = 0$.
- The log's range is all real numbers — it can be any exponent.
- So the log function exists only for positive inputs, hugging the y-axis on the left.
지수함수에는 수평 점근선이 있으며, 그 역함수인 로그에는 대신 ____ 점근선이 있습니다.
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$y=x$에 대해 반사하면 수평 점근선 $y=0$가 수직 점근선 $x=0$로 변합니다.
$\log_b x$의 정의역은 $x > 0$이며, 이는 지수함수의 치역이었습니다.
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역함수는 정의역과 치역을 swapping합니다: 지수함수의 치역($y>0$)이 로그의 정의역($x>0$)이 됩니다.
지수함수와 그 역함수에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
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동일한 함수가 아니라 역함수입니다. 나머지 세 가지 설명이 관계를 올바르게 묘사함.
They undo each other
- Composing a function with its inverse cancels: $\log_b(b^x) = x$ and $b^{\log_b x} = x$.
- So $\log_2(2^7) = 7$ and $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- This cancelling is exactly how logs solve equations with the variable in the exponent.
- Apply the log to both sides, and the exponent comes down where you can reach it.
$\log_2\!\left(2^5\right)$은 무엇입니까?
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로그가 지수함수를 undo합니다: $\log_2(2^5) = 5$. 역함수는 서로 상쇄됩니다.
The exponential accepts any real input but only outputs positives; the log is the mirror — it only accepts positive inputs but outputs any real. Do not give a logarithm a zero or negative argument, and do not expect an exponential to ever output one.
Use the inverse relationship to solve $10^x = 1000$.
- Take $\log_{10}$ of both sides: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- The left side cancels to $x$; the right side is $3$ (since $10^3 = 1000$).
- So $x = 3$ — the logarithm undid the exponential.
The logarithmic function is the inverse of the exponential with the same base: their graphs reflect across $y = x$. Domain and range swap, so the log has domain $x > 0$ and a vertical asymptote at $x = 0$. They undo each other, which is how logs solve exponential equations.