| English | 의미 |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 역함수 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 정의역 |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | 일대일 대응 |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | 반사 |
함수의 역(inverse)进行操作.undoing a function
- 모든 함수는 입력에 어떤 연산을 가합니다; 역(inverse)은 그것을 undo합니다.
- 3을 더하면 역은 3을 니다. 두 배로 하면 역은 절반으로 만듭니다.
- 역은 기계를 뒤로运行하여, 출력을 입력으로 전환합니다.
- 이 "undo" 과정은 함수로 구성된 방정식을 푸는 데 정확히 사용됩니다.
역이 하는 일
- $f$의 역은 $f^{-1}$로 표기되며, 모든 입력-출력 쌍을 reverse합니다.
- $f$이 $2 \to 5$을 보낸다면, $f^{-1}$이 $5 \to 2$을 보냅니다.
- 따라서 $f$의 정의역은 $f^{-1}$의 치역이 되고, 그 반대의 경우도同理입니다.
- 서로 composition하면 모든 것이 undo됩니다: $f^{-1}(f(x)) = x$ ∘ 역 = poly.
함수의 역함수…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
만약 $f$이 $2 \to 5$을 보낸다면, $f^{-1}$은 $5 \to 2$을 보냅니다: 역함수는 원함수가 한 작업을.undo(撤销)합니다.
one-to-one여야 합니다
- 역 함수가 존재하려면 $f$가 one-to-one(일대일) 이어야 합니다.
- 일대일이라는 것은 각 출력이 오직 하나의 입력에서 유래한다는 뜻입니다.
- 두 개의 입력이 동일한 출력을 공유하면, 역방향이 모호해져 단일 역이 존재하지 않습니다.
- 수평선 테스트(horizontal-line test)로 확인합니다: 수평선이 그래프를 두 번 이상 교차해서는 안 됩니다.
y = x 선에 대해 직선을 반사하여 역함수를 확인함
y = ax + b
이 직선은 f(x) = 2x + 1입니다. 역함수는 x와 y를 swapping하여, y = x 선에 대한 대칭 이미지를 만듭니다.
함수가 역함수를 가질 수 있는 조건은 일대일 함수여야 합니다 (각 출력은 정확히 하나의 입력에서 유래함).
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
두 입력이 같은 출력을 공유하면, 역매핑이 모호해지므로 오직 일대일 함수만이 역함수를 가질 수 있습니다.
역의 규칙(inverse rule) 찾기
- $y = f(x)$를 쓰고, $x$와 $y$를 swap하십시오.
- 이제 새로운 방정식을 $y$에 대해 풀이하세요 — 그 식은 $f^{-1}(x)$입니다.
- $f(x) = 2x + 1$의 경우: $x = 2y + 1$로 스왑한 후, 풀이 → $y = \dfrac{x-1}{2}$입니다.
- 스왑은 입력과 출력의 역할을 반대로 바꾸는 것인데, 이것이 역함수의 핵심 개념입니다.
$f^{-1}$의 규칙을 구하기 위해…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$x$과 $y$을 swap하면 입력과 출력의 역할을 뒤바꾸며, $y$에 대해 풀면 역함수의 규칙이 나.
역함수에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
모든 함수가 역함수를 가지는 것은 아닙니다 — 먼저 일대일 함수여야 합니다. 나머지 세 가지 설명은 모두 올바름.
y = x에 대한 대칭
- $(a,b)$를 $(b,a)$로 스왑하면 모든 점이 직선 $y = x$에 대해 대칭 이동합니다.
- 따라서 $f^{-1}$의 그래프는 그 직선에 대한 $f$의 그래프의 대칭 이미지입니다.
- $f$가 y축을 지나는 지점마다 $f^{-1}$는 x축을 지나며, 이와 같은 관계가 계속됩니다.
- 역함수를 검증하려면 $f(f^{-1}(x)) = x$를 확인하면 됩니다.
$f^{-1}$의 그래프는 $f$의 그래프를 직선 $y = x$에 대해 반사시킨 것입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
모든 $(a,b)$을 $(b,a)$으로 swap하면 전체 그래프를 $y = x$에 대해 미러링합니다.
기호 $f^{-1}$는 역함수를 의미하며, 역수 $\dfrac{1}{f}$가 아닙니다. 기호에 "$-1$"가 포함되어 있더라도, $f^{-1}(x)$는 결코 $\dfrac{1}{f(x)}$가 아닙니다 — 이는 $f$의 작용을 무효화하는 함수입니다.
$f(x) = 3x - 6$의 역함수를 구하세요.
- $y = 3x - 6$를 쓰고, 스왑하여 $x = 3y - 6$를 만드세요.
- $y$에 대해 풀이: $x + 6 = 3y$이므로, $y = \dfrac{x+6}{3}$입니다.
- 검증: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — $f$의 작용을 무효화합니다. ✓
역함수 $f^{-1}$은 각 입력-출력 쌍을 반대로 만들어 $f$의 작업을 취소합니다. $f$가 일대일 함수(one-to-one) 일 때만 존재합니다. $x$과 $y$을 교체하여 풀이를 구하고, 그 그래프는 $f$의 그래프를 직선 $y = x$에 대해 대칭시킨 것입니다.