| English | 의미 |
|---|---|
| base/beɪs/ | 밑수 |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 지수함수 |
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 지수 성장 |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 지수 감쇠 |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | 수평 점근선 |
| initial value/ɪˈnɪʃl ˈvæljuː/ | 초기값 |
The base decides everything
- Put the variable up in the exponent and a whole new kind of function appears.
- $2^x$ explodes upward; $0.5^x$ melts toward zero.
- One small number — the base — flips growth into decay.
- These exponential functions model populations, money, medicine, and radioactive decay.
The shape of an exponential
- An exponential function 指数函数 is $f(x) = a\,b^x$, with base $b > 0$ and $b \neq 1$.
- The variable $x$ is the exponent; the base $b$ is fixed.
- The coefficient $a$ is the output when $x = 0$, since $b^0 = 1$.
- This is completely different from $x^2$, where the variable is the base.
지수함수는 …의 형태를 가집니다…
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변수가 고정된 base 위 지수에 위치합니다 $b$ — 이것이 이를 다항식이 아닌 지수함수인 이유입니다.
Growth versus decay
- If $b > 1$, each step multiplies by more than one: exponential growth 指数增长.
- If $0 < b < 1$, each step multiplies by less than one: exponential decay 指数衰减.
- The base 底数 alone decides which way the curve goes.
- Growth curves sweep upward; decay curves fall toward the axis.
변환이 성장과 감쇠를 바꾸려면 base를 1보다 크게 만드십시오
y = a·bˣ
성장을 위해 b를 1보다 크게 유지하고, 감쇠를 위해 b를 1보다 작게 만드십시오. 곡선이 x축을 절대 만지지 않는 점에 주목하십시오— 이것이 그 asymptote입니다.
$f(x) = a\,b^x$에 대해 $a > 0$일 때, 함수는 …일 때 감쇠를 보입니다…
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$0$와 $1$ 사이의 base는每一步 output을 줄입니다— 지수 감쇠. base가 $1$보다 크면 증가합니다.
Domain, range, and asymptote
- The domain is all real numbers — you can raise a base to any power.
- With $a > 0$ the range is $y > 0$: the output is always positive.
- The graph has a horizontal asymptote 水平渐近线 at $y = 0$, which it approaches but never touches.
- On the decay side it flattens toward the axis; on the growth side it soars.
$f(x) = a\,b^x$의 그래프는它所never crosses at $y = 0$有一个水平____.
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output은 임의로 $0$에 가까워지지만 도달하지 않으며, 이로 인해 수평渐近线 $y = 0$이 형성됩니다.
Select all true statements about $f(x) = a\,b^x$ (with $a>0,\ b>1$).
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$a > 0$의 경우 출력값은 항상 양수이므로 절대 음수가 되지 않습니다. 나머지 세 가지 설명은 모두 맞습니다.
Reading a and b in context
- The coefficient $a$ is the initial value 初始值 — the amount at time zero.
- The base $b$ is the per-step multiplier: $b = 1.08$ means $8\%$ growth each period.
- A base of $0.9$ means losing $10\%$ each period ($b < 1$, decay).
- Reading these two numbers turns the formula into a real-world story.
$P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$에서 $500$는 무엇을 의미합니까?
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At $t = 0$, $1.08^0 = 1$, so $P = 500$: coefficient $a$ is the initial value, and $1.08$ is the base (8% growth).
Do not confuse $a\,b^x$ (exponential) with $x^b$ (power). In $2^x$ the variable is in the exponent and growth is explosive; in $x^2$ the variable is the base and growth is merely polynomial. The exponent is what makes it exponential.
A $\$500$ deposit grows by $8\%$ a year: $P = 500 \cdot 1.08^{\,t}$.
- Initial value $a = 500$ (the balance at $t = 0$).
- Base $b = 1.08 > 1$, so this is growth of $8\%$ per year.
- After $10$ years: $P = 500 \cdot 1.08^{10} \approx \$1079$.
An exponential function $f(x) = a\,b^x$ puts the variable in the exponent. The base $b$ decides growth ($b>1$) or decay ($0<b<1$); the domain is all reals, the range is $y>0$, and there is a horizontal asymptote at $y=0$. The coefficient $a$ is the initial value.