| English | 의미 |
|---|---|
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | 일차 함수 |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 지수함수 |
| proportional/prəˈpɔːʃənl/ | 비례 |
Add versus multiply, again
- Two savings plans: one adds $\$100$ a year, the other grows by $10\%$ a year.
- At first the flat $\$100$ looks better, but the percentage plan quietly pulls ahead.
- These are the two great patterns of change: linear and exponential.
- They are the continuous cousins of arithmetic and geometric sequences.
Arithmetic pairs with linear
- An arithmetic sequence adds a constant; a linear function 线性函数 does the same for every input.
- Over each equal step in $x$, a line adds the same amount to $y$ — its constant slope.
- Plot the arithmetic terms and they land right on a straight line.
- Steady addition is the fingerprint of linear change.
등간격 입력 구간에서 선형 함수는…만큼 변화합니다.
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직선은 일정한 기울기를 가지므로, $x$의 등간격 증가에 $y$에는 동일한 양이 추가됩니다—산술급수와 같습니다.
Geometric pairs with exponential
- A geometric sequence multiplies by a constant; an exponential function 指数函数 does the same continuously.
- Over each equal step in $x$, an exponential multiplies $y$ by the same factor.
- So the outputs form a geometric sequence: $a, ab, ab^2, ab^3, \dots$
- Steady multiplication is the fingerprint of exponential change.
지수 함수가 모든 직선을 추월하는 것을 관찰하십시오
y = a·bˣ
밑수 b를 1보다 크게 설정하면 곡선이 매 단계마다 배가되어 곧 모든 직선을 뒤따릅니다. b를 1보다 작게 설정하면 감쇠를 얻습니다.
등간격 입력 구간에서 지수 함수는…만큼 변화합니다.
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지수함수는 동일한 단계를 거칠 때마다 같은 배율로 곱해지며, 이는 기하급수의 연속적 형태입니다.
Proportional change
- Exponential growth is proportional 成比例 change: each increase is a percentage of the current amount.
- Grow $10\%$ a year and the yearly gain gets bigger as the total gets bigger.
- Linear growth adds the same absolute amount regardless of the current size.
- "Percentage per period" always signals an exponential, never a line.
지수 변화는 ____ 변화입니다: 증가는 현재량의 고정된 비율입니다.
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비례적 변화는 각 단계가 현재 값에 비례하여 스케일됨을 의미합니다. 현재保有한 모든 것의 10%씩 증가합니다.
매년 두 배로 증가하는 집단은 지수 함수로 가장 잘 모델링됩니다.
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두 배는 매년 2를 곱하는 것입니다. 등간격에서 일정한 배율을 가지는 것은 지수 성장의 특징입니다.
참인 진술을 모두 선택하시오.
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등량 더하기는 선형이며 지수적이지 않습니다. 나머지 세 가지가 개념을 올바르게 짝짓고 있습니다.
Spotting which model
- Look at how the data changes over equal steps: constant difference → linear; constant ratio → exponential.
- A table helps: subtract to test for linear, divide to test for exponential.
- Over a long enough range, exponential growth beats any linear function, no matter how steep.
- Match the model to the pattern of change before you fit numbers.
Do not judge by the first few values. Early on a line can sit above an exponential, so a quick glance misleads. Test the pattern of change — same difference or same ratio — not just the current heights.
A pond's lily pads: $10, 20, 40, 80, \dots$ each day.
- Each day the count is multiplied by $2$ — a constant ratio.
- Constant ratio → an exponential function, not a line.
- Rule: pads $= 10 \cdot 2^{\,d}$, doubling without limit until the pond fills.
An arithmetic sequence pairs with a linear function (adds a constant); a geometric sequence pairs with an exponential function (multiplies by a constant). Exponential growth is proportional — a percentage of the current amount — and it eventually overtakes any line.