| English | 의미 |
|---|---|
| hole/həʊl/ | 구멍 |
| factor/ˈfæktə/ | 인수 |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 분자 |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 분모 |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | 제거 가능한 불연속점 |
| domain/dəˈmeɪn/ | 정의역 |
한 개의 빠진 점
- 대부분의 유리함수 그래프는 수직 점근선에서 극적으로 끊어집니다.
- 하지만 가끔 그래프는 완전히 평범한 직선이나 곡선이 되지만, 오직 한 점만 뚫려 있습니다.
- 이 작은 간극을 '구멍'이라 하며, 쉽게 놓칠 수 있습니다.
- 이는 매우 구체적인 대수적 이유 때문에 발생합니다.
구멍이 발생하는 곳
- 인수가 분자와 분모 양쪽에서 소거될 때 구멍이 나타납니다.
- $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$를 예로 들면: $(x-1)$이 소거되어 $x+2$이 남습니다.
- 간소화된 그래프는 매끄러운 직선 $y = x + 2$입니다.
- 그러나 $x = 1$ 지점에서 원본 분수는 $\frac{0}{0}$ — 정의되지 않음 — 이므로 점이 빠지게 됩니다.
有理 그래프의 구멍이 나타나는 곳은…
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상하의 공통인수가 약분되면, 간소화된 그래프는 매끄럽지만 — 원본 값은 여전히 제외되어 구멍이 남습니다.
구멍과 수직 점근선의 차이
- 둘 다 분모의 영점에서 비롯되지만,挙動이 반대입니다.
- 분자와 소거됨 → 제거 가능한 불연속: 구멍.
- 소거되지 않음 → 그래프가 날아가는 수직 점근선.
- 따라서 항상 먼저 인수분해하고 간소화한 뒤, 어떤 영점이 소거되는지 확인하세요.
간소화된 함수는 단 한 점이 제거된 직선일 뿐입니다
y = ax + b
이는 (x²−1)/(x−1)의 간소화된 형태입니다. 그래프는 y = x + 1 직선이지만, 실함수는 원래 정의되지 않은 x = 1에서 구멍을 가집니다.
구멍과 수직 점근선을 구분하는 것은 무엇인가?
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약분된 인수 → 제거 가능한 구멍; 생존한 분모의 0 → 값이 폭발하는 수직 점근선입니다.
구멍의 좌표를 찾으려면, 공통인수를 약분한 후, 제외된 값에서 ____ 함수를 평가하십시오.
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간소화된 함수는 그래프가 在那里 가졌을 y값을 줍니다 — 그것이 구멍의 높이입니다.
구멍 좌표 찾기
- 공통 인수를 소거하여 간소화된 함수를 얻으세요.
- 제외된 x 값을 그 간소화된 함수에 대입하여 y 값을 구하세요.
- $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$이 $x = 1$일 때: 단순화된 식은 $x+2$이며, 이는 $y = 3$을 줍니다.
- 따라서 구멍은 $(1, 3)$에 위치합니다. — 그래프가 '통과했어야 할' 점입니다.
인수가 약분된 후에도, 구멍의 x값은 여전히 정의역에서 제외됩니다.
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원본 함수는 그곳에서 정의되지 않았으므로, 대수적 약분은 그 점을 다시 추가하지 않습니다 — 정의역에는 여백이 남아 있습니다.
구멍에 대한 모든 진리 문장을 택하십시오.
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구멍은 함수를 무한대로 보내지 않습니다 — 그것은 점근선입니다. 나머지 세 가지는 맞습니다.
여전히 도메인에서 제외됨
- 소거는 대수적 연산일 뿐, 빠진 입력값을 복원하지는 않습니다.
- 원본 함수는 해당 x에서 정의되지 않았으므로, 도메인에서 계속 제외됩니다.
- 간소화된 공식은 그 한 점을 제외하고는 원본과 모두 일치합니다.
- 이것이 '제거 가능'이라는 뜻입니다: 단일 간극을 메울 수는 있지만, 원래는仍存在했습니다.
$\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$를 $x+2$로 간소화하는 것은 $x \neq 1$에 대해만 유효합니다. 절대 제한 조건을 버리지 마십시오 — 두 표현식은 구멍을 제외하고는 모든 곳에서 같지만, 그것을 잊으면 도메인에서 한 점이 사라집니다.
$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$의 구멍을 찾으세요.
- 위쪽을 인수분해: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, 그리고 $(x-2)$을 소거 → 간소화된 식 $x + 2$.
- 제외되는 값은 $x = 2$입니다; 해당 지점의 단순화된 값은 $2 + 2 = 4$입니다.
- 따라서 $(2, 4)$에 구멍이 있고, 수직 점근선은 없습니다.
구멍은 제거 가능한 불연속입니다: 분자와 분모에서 모두 소거되는 인수입니다. 이를 찾기 위해 간소화하고 제외된 x 값에서 평가하십시오. x는 도메인에서 제외된 채로 남습니다 — 소거는 그래프를 메우지만, 점은 다시 추가하지 않습니다.