| English | 의미 |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 유함수 |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | 분자 |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | 분모 |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | 수평 점근선 |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | 사선 점근선 |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | 점근선 |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | 다항식 나눗셈 |
위와 아래 사이의 줄다리기
- $\frac{2x^2}{x^2+1}$와 같은 분수형 함수는 윗부분에서 하나의 다항식이, 아랫부분에서 another 다항력이 당기는 형국입니다.
- 원점에서 멀리 떨어진 곳에서는 어느 쪽이 더 빠르게 성장하느냐가 값이 수렴하는 곳을 결정합니다.
- 결과적으로 그래프가 접근하지만 결코 완전히 닿지 않는 평평한 선이 나타납니다.
- 그 선을 읽는 것이有理函数(rational function)의 끝단을 설명하는 방법입니다.
有理函数란 무엇인가
- **有理函数(rational function)**은 한 다항식을 다른 다항식으로 나눈 것: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- **분자(numerator)**는 윗부분, **분모(denominator)**는 아랫부분입니다.
- 이 다항식의 끝 행동(end behavior)은 두 항의 차수 간의 경쟁으로 결정됩니다.
- 윗부분과 아랫부분의 최고 차수를 비교하세요 — 그것만이 끝단을 결정합니다.
차수를 비교하기
- 아랫부분이 큼: 분수가 $0$ 쪽으로 수축하므로, $y = 0$은 **수평 점근선(horizontal asymptote)**입니다.
- 차수 동일: 끝단들이 최고차 계수의 비율에 수렴합니다.
- 윗부분이 하나 더 큼: 끝단들은 슬lant 점근선(slant asymptote)(기울어진 직선)을 따릅니다.
- 윗부분이 더 큼: 점근선이 없습니다 — 다항식처럼 증가합니다.
수평 점근선을 위아래로 이동시키십시오
y = a/(x − b) + c
c를 변경하면 전체 곡선이 먼 거리에서 새로운 높이 y = c 수평선으로 수렴합니다. 이 수평선이 끝 행동입니다.
분모의 차수가 분자보다 클 때, 끝 행동은…
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아래쪽 분모가 위쪽 분자를 압도하여 분수가 $0$로 수렴하게 됩니다: x축은 수평 점근선이 됩니다.
분자와 분모의 차수가 같을 때, 수평 점근선은…
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$\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$에 대해 끝은 $y = 3/1 = 3$에 수렴합니다 — 최고차 계수의 비입니다.
수평선 또는 슬lant선
- **점근선(asymptote)**은 그래프가 멀리서 접근하지만 절대 넘지 않는 직선입니다.
- 차수 동일 → 0이 아닌 높이에 수평 점근선; 아랫부분 승리 → $y = 0$에 수평 점근선.
- 윗부분의 차수가 아랫부분보다 하나 클 때 → 수평점근선 대신 슬lant점근선이 생성됩니다.
- 어떤 경우든 그래프의 끝단들은 그 직선에 수렴하게 됩니다.
분자의 차수가 분모의 차수보다 정확히 하나 더 클 때, 그래프는 ____ 점근선을 가집니다.
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끝 행동은 기울어진 선 — 기울어진 점근선 — 을 따르며, 이는 다항식 장항법으로 확인됩니다.
유한함수에 가능한 끝 행동 결과는 무엇입니까?
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유한함수는 수평 점근선이나 기울어진 점근선, 혹은 둘 다 아닐 수 있지만, 동일한 끝에서 두 개를 가질 수는 없습니다.
장Division이 명확하게 보여줌
- **다항식 장Division(long division)**은 $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$을 상수(quotient) $+$ 나머지/아랫부분으로 바꿉니다.
- 멀리서 보면 나머지 항은 사라지고 상수만 남습니다.
- 상수가 수치가면 그것이 수평 점근선이고, 직선이면 그것이 슬lant점근선입니다.
- 극한도 같은 말을 합니다: $\lim_{x\to\infty} f(x)$은 그 상수에 해당합니다.
다항식 장항법은 유한함수를 재작성하여 그 점근적 거동을 드러낼 수 있습니다.
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나눗셈은 "할당수 + 나머지/분모"를 얻습니다; 할당수는 끝이 따르는 직선 또는 곡선입니다.
주항만이 위아래의 제어 끝행동을 결정합니다 — 작은 항들은 원점에서 멀어지면 사라집니다. 따라서 먼저 차수를 비교하고, 상수나 중간 항에 혼란스러워하지 마십시오.
$f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$의 끝행동을 구하십시오.
- 위와 아래 모두 차수가 $2$입니다 — 동일한 차수의 동점입니다.
- 수평 점근선은 주항 계수의 비율입니다: $y = \frac{3}{1} = 3$.
- 따라서 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: 그래프는 선 $y = 3$로 평평해집니다.
**有理函数(유한함수)**의 경우 분자와 분모의 차수를 비교하십시오: 아래가 클 경우 → 수평 점근선 $y = 0$; 동일할 경우 → 주항 계수의 비율에 있는 수평 점근선; 위가 하나 더 클 경우 → 비스듬히 그리는 점근선. 다항식 긴 나눗셈은 끝이 따르는 직선을 보여줍니다.