| English | 의미 |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | 차수 |
| real zeros/rɪəl ˈzɪərəʊz/ | 실수 근 |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | 중근 |
| factored form/ˈfæktəd fɔːm/ | 인수분해형 |
| complex zeros/ˈkɒmpleks ˈzɪərəʊz/ | 복소근 |
| conjugate pairs/ˈkɒndʒuːɡeɪt peəz/ | 공액쌍 |
나머지 근들은 어디로 갔을까요?
- $y = x^2 + 1$의 그래프는 x축 위에 완전히 떠 있는 포물선입니다.
- 결코 교차하지 않으므로, 방정식 $x^2 + 1 = 0$에 해가 전혀 없는 것처럼 보입니다.
- 그러나 대수학은 차수-2 방정식이 반드시 두 개의 근을 가져야 한다고 주장합니다.
- 사라진 근들은 복소수 속에 숨어 있습니다.
실수 영점과 중근
- 다항식의 실수 영점은 그래프가 x축을 가로지르거나 접하는 x값입니다.
- 인수분해형에서 바로 읽으세요: $(x-2)(x+3)$는 $2$과 $-3$에서 영점을 가집니다.
- $(x-2)^2$와 같은 중복 인수는 중근이 2인 영점을 만듭니다.
- 짝수 중근 → 그래프가 접하고 튕겨나; 홀수 중근 → 가로지릅니다.
x축을 가로지르는 대신 단순히 접하는 영점은偶数 ____를 가집니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
偶数 중복도(예: $(x-3)^2$)는 곡선이 축을 튕겨 나오게 하며, 홀수 중복도는 축을 가로지르게 합니다.
그래프가 축을 건드리지 않을 때
- 일부 다항식은 x축에 절대 도달하지 못하므로, 차수보다 적은 수의 실수근을 가집니다.
- '사라진' 근들은 복소근입니다. 이 값들은 $i = \sqrt{-1}$를 사용하여 구성됩니다.
- 이들은 해와 동등하게 '실재하는' 값이지만, 단순히 x절편으로 나타날 뿐입니다.
x축과 절대 만나지 않는 포물선은 몇 개의 실수 영점을 가립니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
x절편이 없다는 것은 실수 영점이 없다는 뜻입니다. 하지만 여전히 두 개의 영점이 있습니다—they are complex(복소수입니다).
복소근은 쌍으로 존재합니다
- 다항식이 실수 계수를 가지며 $a + bi$가 근이라면, $a - bi$도 반드시 근이 됩니다.
- 이러한 대칭 쌍을 복소 켤레 쌍이라고 부릅니다.
- 따라서 복소근은 항상 두 개씩 나타나며, 단독으로 존재할 수는 없습니다.
- 즉, 실수 다항식은 $0, 2, 4, \dots$개의 복소근을 가질 수 있지만,製수(홀수)개는 절대 가질 수 없습니다.
복소 영점과 그 공액 쌍
영점 a + bi를 그래프에 그리십시오. 실수 계수를 가진 다항식이라면, 실수축에 대해 대칭인 공액수 a − bi도 반드시 영점이 됩니다.
실수 계수를 가진 다항식에서 복소 영점은 항상 공액 쌍(conjugate pairs) 으로 나타납니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$a + bi$이 영점이라면, $a - bi$도 반드시 영점이어야 합니다. 이것이 복소 영점이 두 개씩 나타나는 이유입니다.
모든 근 세기
- 차수가 $n$인 다항식은 실수근과 복소근을 중복도를 포함하여 모두 세면, 정확히 $n$개의 근을 가집니다.
- 이것이 대수 기본 정리이며, 이는 절대 실패하지 않습니다.
- 따라서 삼차 함수는 반드시 $3$개의 근을 가집니다; 사차 함수는 반드시 $4$개를 가집니다.
- x절편의 개수가 **차수(degree)**보다 적다면, 나머지는 모두 복소근입니다.
중복도를 포함하여 세었을 때, 차수 4인 다항식은 총 몇 개의 영점을 가집니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
차수-$n$ 다항식은 중복도를 포함하여 실수와 복소를 모두 합쳐 정확히 $n$개의 영점을 가집니다.
삼차 함수(차수 3)는 정확히 1개의 실수 영점을 가집니다. 몇 개의 복소(비실수) 영점이 있어야 합니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
총 영점 $= 3$. 실수가 $1$개라면, 나머지 $2$개는 공액 쌍을 이룹니다.
참인 진술을 모두 선택하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
x절편이 사라진다고 해서 근의 개수가 감소하지 않습니다. 사라진 근들은 복소수입니다. 나머지는 모두 참입니다.
"사라진" x절편은 다항식이 더 적은 근을 가진다는 뜻이 아닙니다. 근의 총 개수는 항상 차수와 같으며, 보이지 않는 근들은 단순히 복소수일 뿐입니다. x절편을 두 개 볼 뿐이라면 사차 함수를 "근이 두 개"라고 보고하지 마십시오.
$x^2 + 1 = 0$를 풀이하십시오.
- 정리하면: $x^2 = -1$, 따라서 $x = \pm\sqrt{-1} = \pm i$입니다.
- 두 근은 $i$과 $-i$입니다 — 약속한 대로 쌍복소근(conjugate pair)입니다.
- 포물선 $y = x^2 + 1$은 어떤 근도 실수가 아니므로 축(axis) 위에 떠 있습니다.
**실수 근(real zeros)**은 x절편이며, 짝/홀수 **중복도(multiplicity)**가 그래프가 접하는지 교차하는지를 결정합니다. 나머지 근들은 **복소근(complex zeros)**으로, 반드시 쌍복소근 형태로 존재합니다. 중복도를 포함하여 세면 근의 총개수는 항상 차수와 같습니다.