| English | 의미 |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | 차수 |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | 최고항 |
| polynomial function/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl ˈfʌŋkʃn/ | 다항함수 |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | 국소 극대값 |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | 국소 극소값 |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | 변곡점 |
| concavity/kənˈkævɪti/ | 오목성 |
How many wiggles can a curve have?
- A line is straight; a parabola has one bend; but some curves rise and fall several times.
- What decides how many hills and valleys a graph is allowed to have?
- The answer is hidden in one number in the function's rule.
- Meet the polynomials — the functions built from powers of $x$.
Degree and leading term
- A polynomial function 多项式函数 is a sum of terms like $3x^4$, $-2x$, and $7$.
- Its degree 次数 is the highest power of $x$ that appears.
- The leading term 首项 is the term with that highest power — it dominates the graph for large $x$.
- Degree is the single most important number: it caps how wiggly the curve can be.
다항식의 차수(degree) 는…
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차수는 변수의 가장 높은 지수입니다—예를 들어 $2x^4 - x + 7$의 차수는 $4$입니다. 그래프의 전체적인 모양과 끝 행동을 결정합니다.
Local maxima and minima
- Follow a polynomial left to right and mark where it changes direction.
- A local maximum 极大值 is a peak: increasing turns to decreasing.
- A local minimum 极小值 is a valley: decreasing turns to increasing.
- Between these turning points the function is steadily increasing or decreasing.
삼차 함수의 형태를 바꾸고 전환점을 세어보십시오.
y = ax³ + bx² + cx + d
슬라이더를 조절해 보십시오. 차수 3 곡선은 최대 두 번만 휘어질 수 있습니다—세 번 굴러가게 해보시려 하시면 실패할 것입니다.
그래프가 감소에서 증가로 바뀌는 점은 국소 ____입니다.
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국소 최솟값(local minimum) 은 골짜기입니다—곡선이 내려가기 멈추고 오르기 시작합니다.
Points of inflection
- Even between turning points, the curve can change the way it bends.
- A point of inflection 拐点 is where the concavity 凹凸性 flips: concave up becomes concave down, or the reverse.
- At an inflection point the rate of change stops speeding up and starts slowing down (or vice versa).
- So it is the steepest or gentlest spot on a rising or falling stretch.
변위점(point of inflection) 은 …지점입니다.
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변위점에서 곡선은 한쪽 방향으로 굽기 멈추고 반대 방향으로 굽기 시작합니다—오목 위(concave up)에서 오목 아래(concave down)로, 혹은 그 반대가 됩니다.
Degree caps the wiggles
- A polynomial of degree $n$ has at most $n - 1$ turning points.
- It also has at most $n - 2$ points of inflection.
- A cubic (degree $3$) can turn at most twice; a quartic (degree $4$) at most three times — like the figure above.
- "At most" matters: a curve may have fewer wiggles, but never more than its degree allows.
차수 5인 다항식은 최대 몇 개의 전환점을 가질 수 있습니까?
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차수-$n$ 다항식은 최대 $n - 1$개의 전환점을 가지므로, 차수 $5$는 최대 $4$개를 허용합니다.
차수 3의 다항식은 3개의 전환점을 가질 수 있습니다.
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차수 $3$은 최대 $3 - 1 = 2$개의 전환점을 허용합니다. $2$개이거나 없을 수는 있지만, 절대로 $3$개는 될 수 없습니다.
다항식 그래프에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
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삼차 함수는 $2$개의 전환점을 가질 수도 없을 수도 있으며(예: $y = x^3$), 따라서 "정확히 2개 가져야 한다"는 틀렸습니다. 나머지 세 문장은 모두 올바릅니다.
"At most" is not "exactly". A cubic can have two turning points, but $y = x^3$ has none — it rises the whole way, with a single point of inflection at the origin. Degree sets the ceiling, not the count.
Consider $f(x) = x^3 - 3x$.
- Degree $3$, so at most $2$ turning points — and it has exactly $2$: a local maximum near $x = -1$ and a local minimum near $x = 1$.
- Between them, at $x = 0$, the concavity flips: that is its point of inflection.
- Its leading term $x^3$ makes the graph fall on the far left and rise on the far right.
A polynomial function's degree (the highest power) caps its shape: at most $n - 1$ turning points — the local maxima and minima — and at most $n - 2$ points of inflection, where the concavity flips. The leading term controls what happens far out on each side.