| English | 의미 |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | 이차 함수 |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | 일차 함수 |
| constant/ˈkɒnstənt/ | 상수 |
| slope/sləʊp/ | 기울기 |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 평균 변화율 |
Two kinds of climb
- An escalator lifts you at a steady pace: every second gains the same height.
- A jet on the runway is different: each second it gains more speed than the last.
- Both are "increasing", but the way they change is completely different.
- Linear and quadratic functions are the first two members of this story.
A linear function: constant rate
- A linear function 线性函数 graphs as a straight line.
- Its slope 斜率 is the same everywhere, so its average rate of change 平均变化率 is the same over any interval.
- Over $[0, 2]$ or $[10, 12]$ or any other stretch — you always get the identical number.
- That single unchanging rate is what "linear" really means.
선형 함수의 어떤 구간에서의 평균 변화율은…
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직선은 고정된 기울기를 가지므로 모든 구간에서 평균 변화율이 동일합니다. 이것이 바로 선형 함수의 특징입니다.
A quadratic function: a changing rate
- A quadratic function 二次函数 graphs as a curved parabola.
- Because it bends, its slope is different at different places — the rate of change keeps changing.
- Near the vertex it is nearly flat; far from the vertex it is steep.
- So its average rate of change depends on which interval you pick.
슬라이더를 움직이면 포물선이 직선이 됩니다.
y = ax² + bx + c
a = 0으로 설정하면 직선이 되며, 이때 기울기는 일정합니다. a ≠ 0으로 만들면 곡선이 굽게 되어 이제 변화율이 계속 변하게 됩니다.
이차 함수의 경우, 모든 구간에서 평균 변화율이 동일합니다.
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포물선은 굽으므로 기울기가 계속 변합니다—따라서 서로 다른 구간마다 다른 평균 변화율을 가집니다.
Equal steps reveal the pattern
- Take equal steps in the input and list the outputs of $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- The jumps between them — the first differences — are $1, 3, 5, 7$.
- Those jumps are not constant, but they grow by the same amount ($2$) every time.
- So a quadratic's rate of change is not fixed, yet it changes in a perfectly steady, linear way.
$y = x^2$에 대해 $x = 1, 2, 3$에서의 첫 번째 차분은 $3, 5, 7$입니다. 각 단계마다 일정한 양으로 얼마나 증가합니까?
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상수 이차 차이 $5 - 3 = 2$과 $7 - 5 = 2$. 이는 이차함수의 지문입니다.
이차함수에서 $x$에 대한 등간격 증가는 첫 번째 차이에 …을 줍니다.
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첫 번째 차수自体가 선형 패턴을 형성합니다—매 단계마다 동일한 양만큼 증가합니다. (두 배로 늘어난다면 지수함수입니다.)
Every average rate is a secant slope
- Whichever function you have, the average rate of change over $[a, b]$ is the slope of the secant line through its endpoints.
- For a line, every secant lies right on top of the graph — same slope every time.
- For a parabola, each secant tilts differently — that is the visible sign of a changing rate.
- Reading secant slopes is how you compare how two functions change.
$[a, b]$ 구간에 대한 평균 변화율을 구하는 단계를 순서대로 나열하십시오.
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출력부터 그 차이, 그리고 입력 차분으로 나누는 것—이것이 이선의 기울기입니다.
참인 진술을 모두 선택하시오.
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이차함수의 변화율은 일정하지 않습니다—점진적으로 변하며(이차 수차가 일정함), 나머지 세 명제는 참입니다.
Do not call a quadratic's rate "constant" just because the pattern is predictable. The rate itself changes from interval to interval; it is the change in the rate that is constant. For a straight line, that change in the rate is zero.
A dropped ball falls a distance $d = 5t^2$ metres after $t$ seconds.
- Distances at $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ metres.
- First differences (distance each second): $5, 15, 25$ — growing by a constant $10$.
- The ball's speed rises linearly even though the distance is quadratic.
A linear function changes at one constant rate — every secant has the same slope. A quadratic function's rate of change is not constant: over equal steps its first differences grow by a fixed amount, so the rate changes steadily. The average rate of change over $[a, b]$ is always the secant slope.