| English | 의미 |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 변화율 |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 평균 변화율 |
| interval/ˈɪntəvl/ | 구간 |
| slope/sləʊp/ | 기울기 |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | 할선 |
| constant/ˈkɒnstənt/ | 상수 |
How fast, exactly?
- A car's speedometer answers a question the odometer cannot: not how far, but how fast right now.
- "How fast is the output changing?" is the central question of this whole course.
- The answer is a number called a rate of change 变化率.
- This lesson measures it two ways: over a stretch, and at a single instant.
Average rate of change
- Over an interval 区间 from $x = a$ to $x = b$, compare how much the output changed to how much the input changed.
- The average rate of change 平均变化率 is $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — change in output over change in input.
- It is a ratio, so it always carries units: metres per second, dollars per year, °C per minute.
- Example in words: if temperature rose 12°C over 4 hours, the average rate was 3°C per hour.
함수 $f$의 구간 $[a, b]$에 대한 평균 변화율은…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
출력의 변화량을 입력의 변화량으로 나눈 값입니다 — 비율이므로 단위는 '출력 단위당 입력 단위'를 가집니다.
It is the slope of a secant line
- Draw the straight line joining the two endpoints $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$: that is the secant line 割线.
- Its slope 斜率 — rise over run — is exactly the average rate of change.
- Steeper secant → faster average change; a downhill secant → a negative rate.
달리기자의 이동 거리가 $f(t)$m입니다. $f(2) = 10$이며 $f(5) = 40$일 때, $[2, 5]$ 기간 동안의 평균 속도는?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
평균 속도 $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s — 해당 구간의 종선 기울기입니다.
그래프에서 구간 $[a, b]$에 대한 평균 변화율은 …의 기울기입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
종선은 $(a, f(a))$과 $(b, f(b))$을 연결하며, 그 기울기는 정확히 평균 변화율입니다.
The rate at a single point
- A secant needs two points. To get the rate at just one point, shrink the interval.
- Take average rates over smaller and smaller intervals around the point.
- As the interval closes toward zero, the secant tips over into a tangent — its slope is the rate at that exact point.
- This "rate at an instant" is the idea that grows into calculus next year.
구간을 줄여가서 종선(secant)이 접선(tangent)이 되도록 하십시오.
f(x) = 0.5x²
점을 드래그하여 특정 지점에서의 기울기를 읽으십시오 — 이는 구간이 0으로 수렴할 때 평균 변화율의 극한입니다.
특정 지점에서의 변화율을 추정하려면, 그 주변에서 매우 ____한 구간의 평균 변화율을 사용합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
구간이 0에 가까워지면 종선의 기울기는 해당 정확한 지점의 기울기에 수렴합니다.
Sign, size, and units
- A positive rate means the output is rising; a negative rate means it is falling; zero means no change.
- A bigger number (ignoring sign) means faster change.
- For a straight line the rate is the same everywhere — it is constant 常数.
- Always state the units: a rate of change with no units is only half an answer.
평균 변화율이 음수라는 것은 해당 구간에서 출력이 감소했음을 의미합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
음의 비율은 출력이 시작점보다 낮아졌음을 의미하며, 이는 평균적으로 구간 내에서 함수가 감소했음을 나타냅니다.
평균 변화율에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
양수, 음수, 또는 0일 수 있습니다. 나머지 모든 설명은 맞습니다: 기울기이며, 단위를 가지며, 작은 구간에서 점별 변화율을 근사합니다.
Average rate of change is about the two endpoints only — it ignores everything in between. A hiker who climbs then descends back to the same height has an average rate of zero, even though they were moving the whole time.
A car travels 150 km between 1:00 and 3:00.
- Average speed $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ km/h.
- That is the secant slope of the distance–time graph over those two hours.
- The car's actual speed changed constantly — 75 km/h is just the average.
The average rate of change over $[a, b]$ is $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, the slope of the secant line through the endpoints. Shrink the interval toward zero and it becomes the rate at a single point. Always report the units.