| English | 의미 |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | 입력 |
| output/ˈaʊtpʊt/ | 출력 |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | 증가함 |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | 감소함 |
| constant/ˈkɒnstənt/ | 상수 |
| interval/ˈɪntəvl/ | 구간 |
| concavity/kənˈkævɪti/ | 오목성 |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 변화율 |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | 볼록함 |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | 오목함 |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | 전환점 |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | 국소 극대값 |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | 국소 극소값 |
물이 올라가는 모습 보기
- 유리잔에 일정한 속도로 물을 붓고 수위 상승을 관찰해 보십시오.
- 직선형 유리에서는 수위가 일정하게 오르고, 곡선형 화병에서는 상승 속도가 빨라졌다 느려지기를 반복합니다.
- 두 양, 즉 부은 물의 양과 높이 — 는 서로 연동되어 함께 변화합니다.
- 전산수학(precalculus)은 한 양이 다른 양과 어떻게 변하는지를 정확히 서술하기 시작합니다.
함수는 입력을 출력에 연결합니다
- 함수는 입력 ($x$의 값)을 받아 정확히 하나의 출력 ($f(x)$로 표기됨)을 반환합니다.
- 입력이 변하면 출력도 그에 따라 변합니다 — 이것이 바로 양이 함께 변한다는 의미입니다.
- 우리는 $f(2)$를 "입력이 $2$일 때의 출력"을 의미하도록 씁니다.
- 따라서 함수의 모든 이야기는 하나의 질문입니다: $x$가 움직일 때 $f(x)$은 어디로 가는가?
증가, 감소, 또는 일정
- 구간(interval) 을 선택하십시오 — 입력 축의 일부 구간 — 그리고 출력을 왼쪽에서 오른쪽으로 따라가십시오.
- 입력이 오른쪽으로 이동할 때 출력이 오르는 지점에서 함수는 증가(increasing) 합니다.
- 입력이 오른쪽으로 이동할 때 출력이 내리는 지점에서 함수는 감소(decreasing) 합니다.
- 출력이 일정하게 유지되는 구간에서는 일정합니다.
- 이를 그래프에서 바로 확인할 수 있습니다: 우상향은 증가, 우하향은 감소입니다.
함수가 구간에서 증가한다고 할 때는…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
증가는 방향에 대한 것이지 크기에 관한 것이 아닙니다. 입력을 따라 오른쪽으로 이동할 때 출력이 올라갑니다. 값이 여전히 음수일 때도 증가하고 있을 수 있습니다.
그래프가 구간 전체에서 완벽하게 평평(수평)하다면, 그 구간에서 함수는 일정합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
평평한 그래프는 입력이 변해도 출력이 변하지 않음을 의미하며, 이것이 바로 일정(constant)의 뜻입니다.
볼록성(Concavity): 변화가 가속화되고 있는지 감속화되고 있는가?
- 곡선이 여전히 증가하고 있어도 그 변화율(출력의 이동 속도) 자체는 변할 수 있습니다.
- 볼록성은 곡선이 어떤 방향으로 굽는지를 설명합니다.
- 오목함(Upper concavity) — 컵처럼 위쪽으로 굽으므로 변화율은 증가합니다.
- 우울함(Lower concavity) — 돔처럼 아래쪽으로 굽으므로 변화율은 감소합니다.
- 다시 그 곡선형 병을 보면, 좁아지는 곳에서는 높이가 점점 더 빠르게 상승합니다(오목함).
곡선이 **오목 위(upward concave)**라고 말하면…
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
오목 위(upward concave)는 컵 모양으로 굽은 것을 의미하며, 변화율 자체가 상승함을 뜻합니다. 곡선이 아래로 내려가면서도 오목 위일 수 있습니다. 미끄럼틀이 바닥에서 평평해지는 것을 생각해보십시오.
회전점(Turning points): 국소 극대값 및 극소값
- 곡선이 증가를 멈추고 감소를 시작하는 지점이 **국소 극대값(Local maximum)**인 봉우리입니다.
- 감소를 멈추고 증가를 시작하는 지점이 **국소 극소값(Local minimum)**인 골짜기입니다.
- 이러한 각 봉우리나 골짜기는 회전점입니다.
- '국소(Local)'란 전체 그래프의 최댓값이나 최댓값이 아니라 주변에서 가장 크거나 작은 것을 의미합니다.
접선의 기울기는 바로 변화율입니다.
f(x) = x³ − 3x
점을 드래그하여 접선의 기울기를 읽으십시오. 곡선이 오르는 곳에서는 양수, 내리는 곳에서는 음수, 전이점(coloring point)에서는 0입니다.
그래프가 증가하다가 감소하기 시작하는 점은 국소 ____입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
국소 최댓값에서 곡선은 언덕에서 골짜기로 방향을 바꿉니다. 주변 점들과 비교했을 때 가장 높은 봉우리입니다.
figure의 곡선을 보십시오. 모든 참인 문장을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
곡선은 상승하여 봉우리에서 방향을 바꿔 골짜기까지 내려간 후 다시 상승합니다. 전체 구간에 걸쳐 오목 위인 것은 아닙니다 — 봉우리 근처에서는 아래로 굽고 골짜기 근처에서는 위로 굽습니다.
'증가'와 '오목함'은 서로 다른 개념입니다. 증가는 출력이 오르는 것이고, 오목함은 변화율이 오르는 것입니다. 곡선은 동시에 감소하고 오목할 수도 있습니다—내려가면서도 내려갈수록 평평해지는 형태입니다.
두 출력 비교하기
- 함수를 두 입력 $a$과 $b$에서 비교하려면, 해당 출력 $f(a)$과 $f(b)$을 비교하면 됩니다.
- $b > a$보다 $f(b) > f(a)$이 클 경우, 출력은 입력이 커짐에 따라 증가했습니다.
- $a$에서 $b$까지의 출력의 순변화량은 단순히 $f(b) - f(a)$입니다.
- 함수가 같은 값으로 돌아오면, 중간에 오르고 내려갔더라도 순 변화량은 0입니다.
$f(2) = 5$과 $f(6) = 5$을 가진 함수에서, $x = 2$부터 $x = 6$까지의 출력의 총 변화량은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
순변화 $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$입니다. 출력은 시작 지점으로 돌아왔습니다 — 중간에 오르내렸더라도 말이죠.
각 용어를 설명하는 내용에 매칭하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
증가/감소는 출력의 방향을 나타내고, 오목성은 변화율 자체가 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 국소 최댓값은 방향이 뒤바뀌는 지점입니다.
티컵의 온도가 90°C에서 실온까지 낮아진다.
- 온도(출력)는 감소하는 경향이 있으며, 전체 시간 동안 다시 증가하지 않습니다.
- 하지만 처음에는 빠르게 떨어지고 나중에는 느려집니다: 곡선은 **오목함(concave up)**을 보입니다.
- 그 사이에 국소 최댓값이나 최솟값이 없으며, 방향이 바뀐 적이 없습니다.
함수의 성질은 그래프에서 읽을 수 있습니다. 특정 구간에서 함수가 증가하거나 감소하며, **오목성(concavity)**은 변화율이 빨라지거나 느려지는지를 알려줍니다. 또한, 방향이 바뀌는 지점인 **전환점(turning points)**은 국소 최댓값과 최솟값에 해당합니다.