| English | 의미 |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | 적분 |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | 대칭성 |
What if the charge is smeared along a rod, not a dot?
- Real objects hold charge spread over a line, a surface, or a volume.
- A single $E = kQ/r^2$ won't do — there is no single distance $r$.
- The calculus trick: chop the charge into tiny pieces and add up their fields.
- This is the heart of AP Physics C: turning a sum into an integral 积分.
Charge densities
- Spread along a line: linear density $\lambda = \dfrac{dq}{d\ell}$ (C/m).
- Spread over a surface: surface density $\sigma = \dfrac{dq}{dA}$ (C/m²).
- Filling a volume: volume density $\rho = \dfrac{dq}{dV}$ (C/m³).
- Each lets you write a small charge as $dq = \lambda\,d\ell$, $\sigma\,dA$, or $\rho\,dV$.
선전하 밀도 $\lambda$의 단위는:
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$\lambda = dq/d\ell$는 길이당 전하로, C/m이다.
Chop into elements dq
- Pick a tiny element $dq$ at distance $r$ from your point $P$.
- It makes a tiny field $dE = \dfrac{k\,dq}{r^2}$, pointing from $dq$ toward $P$.
- Every element points a slightly different way — $d\vec E$ is a vector.
- Sum them: $\vec E = \displaystyle\int d\vec E$.
장을 구성하기
더 크고 밀도가 높은 전하가 여러 기여를 통해更强的 장을 어떻게 형성하는지 보십시오.
소규모 원소 element $dq$가 거리 $r$에 있는 경우, 그 장은 $dE = k\,dq/$ ____이다.
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각 요소는 점전하이다: $dE = k\,dq/r^2$.
전하 분포의 장에 대한 모든 올바른 단계 선택
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밀도 → dE → 적분. r이 각 요소마다 다르므로 단일 kQ/r²로는 실패한다.
Use symmetry to kill components
- Adding vectors is hard, so let symmetry 对称性 do the work.
- For a symmetric shape, sideways components cancel in pairs.
- Only the component along the symmetry axis survives.
- Integrate just that surviving component — far less algebra.
대칭적인 전하의 경우, 측면 장 성분들이 쌍으로 상쇄되는 경우가 많다.
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대칭성은 수직 성분을 상쇄시키고 축 성분만 남게 한다.
A worked shape: the infinite line
- For an infinite line of charge, the integral gives $E = \dfrac{2k\lambda}{r}$.
- Notice: it falls off as $1/r$, not $1/r^2$ — the extra charge farther along helps.
- A charged plane gives an even flatter field, $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (constant).
- The shape of the object sets how fast the field fades.
무한 선전하의 장은 다음과 같이 감소한다:
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무한 선은 $E = 2k\lambda/r$를 제공함 — 거리의 $1/r$제곱에 반비례하는 감소율이다.
충전된 평면이 만드는 장은 $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$이다. 만약 $\sigma$이 두 배가 되면, 장 $E$는 몇 배로 커지는가?
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$E \propto \sigma$이므로, $\sigma$을 두 배로 하면 $E$도 두 배가 됩니다.
A ring of radius $a$ carries charge $Q$. Find $E$ on its axis, distance $x$ from the centre.
- By symmetry, only the along-axis part survives.
- The integral gives $E = \dfrac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$, pointing along the axis.
You must add the little fields as vectors, not just their sizes. Skipping symmetry and summing magnitudes gives a wrong (too big) answer — always cancel the components that symmetry kills first.
For spread-out charge, write $dq$ with a density ($\lambda,\sigma,\rho$), find each element's $dE = k\,dq/r^2$, and integrate $\vec E = \int d\vec E$. Use symmetry to cancel components. An infinite line gives $E = 2k\lambda/r$; a plane gives a constant $E = \sigma/2\varepsilon_0$.