| English | 의미 |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | 테일러 급수 |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | 맥클로린 급수 |
멈추지 않는 다항식
- 테일러 다항식은 차수 **$n$**에서 멈춥니다. 이를 영원히 계속하면 테일러 급수가 됩니다.
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — 무한 버전으로, 수렴하는 구간에서 **$f$**을 정확히 표현합니다.
- 중심이 **$0$**인 경우 마클로린 급수라고 합니다.
- 몇 가지는 암기해 두는 것이 좋습니다.
$0$为中心的泰勒级数被称为____级数。
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맥클로린 = $0$ 중심의 테일러
반드시 알아야 할 마클로린 급수
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$(기하급수, $|x|<1$).
cos x를 그 급수로부터
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — 짝数次, 교차 부호, 계승 분모.
$e^x$의 맥클로린 급수는 ...입니다.
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모든 차수, 계수 $\tfrac1{n!}$, 교차 없음.
$\dfrac{1}{1-x}$($|x|<1$ 포함)의 급수는 ...
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기하 급수 $1+x+x^2+\cdots$.
처음부터 만들기
- **$f(a),f'(a),f''(a),\dots$**를 계산하여 **$\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$**에 항별로 대입하십시오.
- 도함수에서 패턴을 찾아 일반 **$n$**항을 쓰십시오.
- 위에서 언급한 알려진 급수는 보통 한 번만 유도되어 재사용되므로 암기하십시오.
- 일반항이 바로 이것이 단순한 몇 항이 아닌 급수임을 만듭니다.
$\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$을 사용하여, $\cos(0.2)$를 추정하십시오.
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$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
**$\sin$**과 **$\cos$**는 가족
- **$\sin x$**은 홀수 차수를 사용하고 **$\cos x$**은 짝수 차수를 사용하며, 모두 부호가 교대로 바뀝니다.
- **$e^x$**은 모든 차수가 있으며 모든 계수가 양수입니다 $\tfrac1{n!}$.
- 이러한 패턴을 통해 항을 빠르게 쓰고 문제에서 원하는 급수를 식별할 수 있습니다.
- 가족을 인식하는 것이 시험에서 반의 승리를 의미합니다.
$\sin x$의 맥클로린 급수는 ...을 사용합니다.
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$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (홀수, 교차).
이 표준 급수의 분모는 계승입니다.
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$n$항에는 $n!$(또는 $(2n)!$, $(2n+1)!$)이 있습니다.
인수표와 부호 패턴을 명확히 하십시오: **$\sin x$**은 홀수 차수 $x^{2n+1}$(시작은 $x$), **$\cos x$**은 짝수 차수 $x^{2n}$(시작은 $1$), 모두 교대; **$e^x$**은 모든 차수가 있으며 교대 없음. 홀수/짝수 혼동이나 $(-1)^n$ 누락은 고전적인 실수입니다.
**$\cos x$**의 마클로린 급수를 쓰고 이를 사용하여 **$\cos(0.2)$**을 두 항으로 근사하십시오.
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- **$x=0.2$**에서의 두 항: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$.
- 참인 $\cos 0.2\approx0.980$. ✓
테일러 급수는 무한 $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$입니다. $0$에서 중심을 잡으면 맥클로린 급수가 됩니다. $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1-x}$를 암기하세요. 계승과 부호 패턴을 확인하세요: $\sin$ = 홀수 차수, $\cos$ = 짝수 차수, 모두 교대; $e^x$ = 모든 차수, 교대 없음.