| English | 의미 |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | 끝행동 |
| limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ | 무한에서의 극한 |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | 수평 점근선 |
줌 아웃: 멀리서 어떻게 되는가?
- $x\to c$ 대신, 이제 $x$가 $+\infty$ 또는 $-\infty$로 사라지도록 하십시오.
- 이는 함수의 끝행동(end behavior) 을 묘사합니다—왼쪽 끝과 오른쪽 끝에서의 형태입니다.
- 우리는 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=L$로 씁니다: $x$가 커질수록, $f$은 $L$로 수렴합니다.
- 이들은 무한대 극한이며, 수평적 추세를 밝혀줍니다.
최고차항의 경쟁
- 유리함수의 경우, 끝행동(end behavior)은 분자와 분모의 차수 사이의 경쟁입니다.
- 분모 승리(분모의 차수가 더 큼): $f\to0$. 예시 $\dfrac{x}{x^2+1}\to0$.
- 비기(차수 동일): $f\to$ 최상위 계수의 비. 예시 $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}\to3$.
- 분자 승리(분자의 차수가 더 큼): $f\to\pm\infty$ — 수평 점근선이 없음(커짐).
멀리서 평탄해지는 곡선
y = a / (x − b) + d
$x$을 가장자리로 밀면 — 역수형 곡선은 $x\to\pm\infty$로 갈수록 수평 점근선에 수렴하며 평탄해집니다.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^2+1}$은 무엇입니까?
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분모의 차수가 더 높으므로 분수는 $0$로 수축합니다.
수평 점근선이 $y=0$인 모든 라티onal 함수를 선택하십시오.
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분모의 차수가 더 높음 → $y=0$. 세 번째는 차수가 같아, 대신 $y=3$이 됩니다.
수평 점근선
- $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$(유한한 수)라면, 직선 $y=L$은 수평 점근선입니다.
- 그래프는 평탄해져서 원점에서 먼 곳에서 $y=L$와 나란히走ります.
- 요령: 분모의 가장 높은/power $x$로 모든 항을 나누고, 이후 $x\to\infty$(각 $\tfrac1{x^n}\to0$)으로 보내십시오.
- $\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}=\dfrac{3+\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac5{x^2}}\to\dfrac{3}{1}=3$.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-5}$을 계산하십시오.
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동차식 → 최고차항 계수의 비 $\frac31=3$.
무한 대에서의 유한한 한계 $\lim_{x\to\infty}f(x)=L$은 수평 점근선 $y=L$을 만듭니다.
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그래프가 $y=L$로 평탄해집니다.
두 끝이 다를 수 있음
- 함수는 $x\to+\infty$로 갈 때 한 값에 근접하고, $x\to-\infty$로 갈 때는 다른 값에 근접할 수 있습니다.
- 오른쪽에서는 $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$이지만 왼쪽에서는 $\to-\tfrac{\pi}{2}$ — 두 개의 수평 점근선.
- 따라서 항상 두 방향을 확인하십시오. 대칭성을 가정하지 마십시오.
- 수직 점근선(중간의 단절)과 달리, 수평 점근선은 먼 곳의 추세에 관한 것이며, 곡선이 thậm chí 이를 가로질러 지나갈 수도 있습니다.
그래프는 중간에 수평 점근선을 가로지르더라도 끝부분에서는 그 점근선에 접근할 수 있습니다.
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수평 점근선은 멀리 있는 거동만을 설명하며; 중간에서의 교차는 허용됩니다.
$\arctan x$에 대해, 두 한계 $\lim_{x\to+\infty}$과 $\lim_{x\to-\infty}$은 ...입니다.
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두 끝은 다를 수 있습니다 — 여기에는 두 개의 수평 점근선이 있습니다.
수직 점근선과 수평 점근선은 완전히 다른 개념입니다. 수직($x=c$): 특정 입력에서 출력이 발산함 — 그래프는 이를 절대 가로질러 지나가지 않습니다. 수평($y=L$): $x\to\pm\infty$로 갈 때의 먼 곳의 추세 — 그래프는 중간에서 이를 가로질러 지나갈 수 있으며, 끝에서 여전히 수렴할 수 있습니다.
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2-3x}{5x^2+7}$와 수평 점근선을 찾으십시오.
- 차수가 동일(모두 $2$), 따라서 $x^2$로 나누십시오: $\dfrac{2-\tfrac3x}{5+\tfrac7{x^2}}$.
- $x\to\infty$일 때, $\tfrac3x$ 및 $\tfrac7{x^2}$ 항은 $\to0$입니다.
- 극한이 $=\dfrac{2}{5}$이므로, $y=\tfrac25$은 수평 점근선입니다.
무한대 극한은 끝행동을 묘사합니다.有理함수의 경우: 분모 승리 → $0$; 차수 동일 → 최상위 계수의 비; 분자 승리 → $\pm\infty$ (수평 점근선 없음). 유한한 $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$은 수평 점근선 $y=L$을 제공하며, 두 끝은 다를 수 있습니다.