| English | 의미 |
|---|---|
| piecewise function/ˈpiːswaɪz ˈfʌŋkʃn/ | 분할 함수 |
구멍 메우기
- 제거 가능한 불연속 removable discontinuity는 극한은 존재하지만 값이错误或 missing인 구멍입니다.
- 극한은 완벽한 수値이므로, 그 한 지점에서 함수를 재정의 redefine하여 구멍을 메울 수 있습니다.
- 점의 값을 극한과 같게 설정하면, 곡선이 이제 매끄럽게 이어집니다.
- 이는 연속성 수리 repair입니다: 제거 가능한 유형에만 가능합니다.
구멍 뒤에 있는 곡선
y = x + 3
소거된 함수 $y=x+3$은 직선입니다 — 구멍을 채우는 것은 그 직선이 이미 통과하는 점을 plotting하는 것입니다.
미지상수 mystery constant 구하기
- 종종 조각 함수에는 알 수 없는 상수 $k$이 있으며, 이를 연속적으로 만들기 위해 $k$을 선택해야 합니다.
- 규칙은 조건 (3): 극한과 값 limit equal the value이 접합 seam에서 같도록 만듭니다.
- 접합점 join point에서 두 조각을 같게 설정하고 $k$에 대해 풀이합니다.
- 방정식 하나, 미지수 하나 — 깔끔한 대수 algebra입니다.
조각 정의 함수를 이음새에서 연속이 되도록 하려면, 한계를 해당 함수의 ____와 같게 설정하십시오.
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이는 연속성 조건(3)입니다: 한계 $=$ 값.
worked pattern
- Suppose $f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$이 $x=2$에서 연속이어야 한다고 합시다.
- 왼쪽 극한: $2+k$. 오른쪽 값: $3(2)-1=5$.
- 연속성에는 $2+k=5$이 필요하므로, $k=3$이어야 합니다.
- $k=3$을 설정하면 두 조각이 정확히 만나며, 점프는 없고 연속적인 함수가 됩니다.
$f(x)=\begin{cases}x+k,&x<2\\3x-1,&x\ge2\end{cases}$이 $x=2$에서 연속이 되게 하려면 $k$을 찾으십시오.
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$2$에서 조각들을 같게 설정: $2+k=5\Rightarrow k=3$.
수선할 수 없는 것을 아는 것
- 제거 가능한 removable 구멍만 수선 가능합니다—극한이 이미 존재해야 합니다.
- 약점 jump(불일치 양측 극한)는 실제 폭의 간격 gap이 있습니다: 단일 재정의 redefine로 닫을 수 없습니다.
- 무한 infinite 불연속은 발산 blow up합니다: 어떤 값 asymptote도 진정ize할 수 없습니다.
- 따라서 먼저 분류 classify하십시오; 양측 극한이 없으면 불연속은 영구적입니다.
어떤 불연속성이 단일 지점을 재정의함으로써 제거될 수 있습니까?
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제거 가능한 유형만이 양쪽 극한을 맞출 수 있으며, 점프와 폭발은 수정할 수 없습니다.
$f(c)$를 재정의하면 이전에는 존재하지 않던 양측 한계를 만들 수 있습니다.
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단일 점은 한계에 영향을 주지 않습니다. 양쪽 한계가 일치하지 않는다면, 재정의는 아무런 변화도 가져오지 않습니다.
제거할 수 없는 모든 불연속점을 모두 선택하십시오.
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양측 한계가 없는 것은 영구적입니다; 제거 가능한 구멍만 채울 수 있습니다.
두側極限 already exist하는 곳에서만 불연속을 "제거 remove"할 수 있습니다. 왼쪽과 오른쪽 극한이 다르면, $f(c)$을 어떤 수로 설정해도 양侧 disagreeing remain — 함수는 계속 불연속입니다. 점을 재정의 redefine하는 것은 거기에 없던 극한을 생성할 수 없습니다.
$\dfrac{x^2-25}{x-5}$의 $x=5$에서의 구멍을 제거하려면, 극한과 같은 $f(5)$을 정의하십시오. 그 값은 무엇입니까?
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극한 $=\lim_{x\to5}(x+5)=10$, 따라서 $f(5)=10$.
$c$을 찾아서 $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-9}{x-3},&x\neq3\\ c,&x=3\end{cases}$이 $x=3$에서 연속이 되도록 하십시오.
- 극한: $\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$.
- 연속성에는 $c=\lim_{x\to3}f(x)=6$이 필요합니다.
- $c=6$을 설정하면 구멍이 메워지며, $f$은 이제 $3$에서 연속입니다.
제거 가능한 불연속점은 (기존의) 극한값과 같도록 $f(c)$을 재정의하여 수정합니다. 알 수 없는 상수가 있는 조각 함수의 경우, 연결 지점에서 조각들을 서로 같게 설정합니다 — 극한 $=$ 값 — 그리고 풀이합니다. Jump(점프) 및 infinite(무한) 불연속점은 양측 극한이 없으므로 수정할 수 없습니다.