| English | 의미 |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 변화율 |
| slope/sləʊp/ | 기울기 |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | 할선 |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | 접선 |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 순간 변화율 |
| limit/ˈlɪmɪt/ | 한계 |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 미분 |
지금 즉각적으로 얼마나?
- 자동차의 속도计的读数是 $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ at a single instant.
- However, speed is distance ÷ time — and at an instant, no time passes and no distance is covered.
- 그렇다면 순간 속도를 어떻게 정의할 수 있는가?
- Answering this question is where calculus begins.
평균 변화율
- 구간 동안에는 변화량이 명확하다: 전체 변화량을 소요 시간으로 나눈 값이다.
- 이는 함수의 평균 변화율이다.
- 그래프상에서는 두 점을 잇는 직선의 기울기, 즉 할선에 해당한다.
- Example: from $x=1$ to $x=3$, the average rate is $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
곡선 위의 두 점 사이의 **접선 선(secant line)**의 기울기는 ...를 나타냅니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
두 점을 연결하므로 접선 선의 기울기는 해당 구간의 평균 변화율입니다.
두 점을 함께 압축하다
- 이제 두 번째 점을 첫 번째 점에 점점 더 가까이 이동시킨다.
- 할선이 회전하며 곡선에 한 점에서만 접하도록 가까워진다.
- That touching line is the tangent line.
두 번째 점이 첫 번째 점으로 이동함에 따라 접선 선은 ...에 가까워집니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
접선 선이 곡선에 딱 닿을 때까지 회전하며, 이는 접선에 가까워집니다.
순간 변화율
- 접선의 기울기는 해당 지점에서의 순간 변화율입니다.
- 그것은 속도계 읽기—정확한 한 순간의 비율입니다.
- 위치-시간 그래프에서는 instantaneous velocity(순간 속도)에 해당합니다.
평균 속도인가, 순간 속도인가?
각 양이 구간 동안 측정되었는지, 단일 순간에 측정되었는지 결정하십시오.
접선의 기울기는 ____ 변화율입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
**접선(tangent line)**은 한 점에서 곡선에 닿으므로, 그 지점에서의 기울기는 순간 변화율입니다.
한 점만 대입해서는 순간 변화율을 구할 수 없습니다.那样做하면 $\tfrac{0}{0}$이 되는데, 이는 정의되지 않습니다. 구간이 작아질 때 평균 변화율이 어떤 값으로 수렴하는지를 확인해야 합니다.
단일 점을 평균 속도 공식에 대입하여 순간 변화율을 구할 수 있습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
그것은 $\tfrac{0}{0}$을 주는데, 이는 정의되지 않습니다. 구간이 0으로 수렴할 때 **극한(limit)**을 취해야 합니다.
이 "근접"은 극한(limit)입니다
- 우리는 실제로 0으로 나누지 않습니다. 대신 기울기가 수렴하는 값을 묻습니다.
- 그 값은 한계(limit) — 미적분의 핵심 개념입니다.
- 구간이 0으로 수렴할 때의 평균 변화율의 한계를 미분(derivative) 이라고 합니다.
- 이 과정의 의미를 엄밀하게 만드는 것이 이 과정 첫 단원의 주제입니다.
**도함수(derivative)**에 대한 모든 참인 문장을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
도함수는 구간이 수렴할 때 평균 변화율의 극한이며, 즉 접선의 기울기이자 순간 변화율입니다.
공의 높이가 $h(t) = 5t^2$ m일 때, $t=2$ s 시점의 속도를 추정하세요.
- Average rate from $t=2$ to $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- From $t=2$ to $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- 값들이 $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$로 수렴합니다—그 한계가 바로 순간 속도입니다.
공의 높이가 $h(t)=5t^2$ m일 때, $t=2$ s 시점의 순간 속도를 추정하십시오 (단위: m/s).
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
구간을 좁히면 평균 속도가 $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$에 수렴합니다—이 극한이 순간 속도입니다.
평균 변화율 = 구간 내 TV 선의 기울기. 구간을 0으로 줄이면 TV 선은 접선에 수렴하며, 그 기울기가 순간 변화율입니다. 그 극한값이 미분입니다.