| English | 의미 |
|---|---|
| temperature/ˈtemprɪtʃə/ | 온도 |
| Wien's displacement law/viːnz dɪˈspleɪsmənt lɔː/ | 빈 변위 법칙 |
| Stefan-Boltzmann law/ˈstefən ˈbɒltsmən lɔː/ | 슈테판-볼츠만 법칙 |
| blackbody/ˈblækbɒdi/ | 흑체 |
| wavelength/ˈweɪvleŋθ/ | 파장 |
| Stefan-Boltzmann constant/ˈstefən ˈbɒltsmən ˈkɒnstənt/ | 슈테판-볼츠만 상수 |
망원경은 별을 원반으로 볼 수 없습니다
- 태양을 제외하고 모든 별은 가장 큰 망원경에서도 점(point) 으로 보입니다. 원반은 해상하기엔 너무 작습니다.
- 그러나 수천 광년 떨어진 별의 반지름은 일상적인 계산이며, 이를 위해 우리가 측정할 수 있는 두 가지 요소인 색과 밝기를 이용합니다.
- 색은 표면 온도를 알려줍니다. 밝기와 거리는 총 전력(발광도)을 알려주고, 이 두 가지가结合起来하면 크기를 구할 수 있습니다.
- 이 교훈은 위엔 변위 법칙(Wien's displacement law) 과 스테판-볼츠만 법칙(Stefan-Boltzmann law), 그리고 이들을 이어주는 3단계 연결고리에 관한 것입니다.
위엔 변위 법칙
- 뜨거운 물체는 연속 흑체(blackbody) 스펙트럼을 방출하며, 그 피크는 온도에 의해 결정되는 파장에 위치합니다:
- 강도가 최대인 파장은 열역학적 온도에 반비례합니다.*"최대 강도의 파장"이라고 말해야 하며, 단순히 "파장"이라고만 하면 안 됩니다.
- 온도는 켈빈(K) 단위로 must be used, and the law describes the continuous curve의 peak, 스펙트럼 선(spectral lines)이 아닙니다.
- hotter means bluer: 약 $3000\ \text{K}$인 붉은 별은 적외선 영역에서 피크를 가지고, 약 $5800\ \text{K}$인 태양은 가시광선 영역인 약 $500\ \text{nm}$에서 피크를 가지며, 약 $20000\ \text{K}$인 청백색 별은 자외선 영역에서 피크를 가집니다.
더 뜨겁고, 더 높으며, 더 왼쪽으로
Hotter stars have their spectral peak (Wien's law) at a ____ wavelength.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\lambda_{\max}T = b$, so a higher $T$ means a smaller $\lambda_{\max}$ — toward the blue.
Which belong in a statement of Wien's displacement law? Select all that apply.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
It is about the peak of the continuous black-body curve, not the lines. Saying only the wavelength loses the mark; say the wavelength of maximum intensity.
worked example: 별의 온도 측정
- 한 별의 스펙트럼이 $500\ \text{nm}$에서 피크를 가집니다. 표면 온도를 구하십시오.
- $T = \dfrac{b}{\lambda_{\text{max}}} = \dfrac{2.90\times10^{-3}}{500\times10^{-9}} = 5800\ \text{K}$.
- 먼저 나노미터(nm)를 미터(m)로 변환하십시오. 상수는 미터 켈빈(m·K) 단위로 되어 있으므로, nm 단위의 파장을 그대로 사용하면 온도가 $10^9$배 incorrectly comes out.
- 이 한 가지 측정값이 바로 별의 색상이 유용한 이유입니다: 색상은 온도를 나타내기 때문입니다.
A star's spectrum peaks at $\lambda_{\max} = 500\ \text{nm}$. What is its surface temperature? ($b = 2.9 \times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}$)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$T = \dfrac{b}{\lambda_{\max}} = \dfrac{2.9 \times 10^{-3}}{500 \times 10^{-9}} \approx 5800\ \text{K}$ — about the Sun.
Match each star to where its spectrum peaks.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Hotter peaks shorter. This one measurement is why a star's colour is useful: colour is temperature.
스테판-볼츠만 법칙
- 반경이 $r$이고 표면 온도가 $T$인 블랙바디 구체로 별을 가정합니다:
- $\sigma$은 스테판-볼츠만 상수입니다.
- 두 가지 종속성이 있으며, 그 세기는 매우 다릅니다. $L \propto r^2$: 반경을 두 배로 하면 발광도는 네 배가 됩니다. $L \propto T^4$: 온도를 두 배로 하면 발광도는 열섯 배(16배)가 됩니다.
- 따라서 온도에서 작은 오차는 발광도에서 큰 오차로 이어지므로, 최대 파장을 정확히 읽어야 합니다.
A star's luminosity and radius
L ∝ r²
주어진 표면 온도에서 별의 발광도는 반지름의 제곱에 비례하여 증가합니다 (스테판-볼츠만 법칙).
The Stefan–Boltzmann law gives a star's luminosity as:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$ — strongly dependent on both radius and temperature.
Using $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, which are true? Select all that apply.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
L goes as r^2 and T^4. That fourth power is why the peak wavelength must be read carefully and corrected for redshift.
worked example: 태양과 유사한 별의 발광도
- 한 별의 반경이 $7.0\times10^{8}\ \text{m}$이고 표면 온도가 $5800\ \text{K}$입니다. 이 별의 발광도를 구하십시오.
- $L = 4\pi\sigma r^2 T^4 = 4\pi(5.67\times10^{-8})(7.0\times10^{8})^2(5800)^4 = 3.9\times10^{26}\ \text{W}$.
- 반경에 제곱하고 온도에 네제곱을 하십시오. 계산기에서는 $T^4$을 별도의 단계로 수행하여 그 크기를 확인하십시오: $(5800)^4 \approx 1.1\times10^{15}$.
If a star's temperature doubles (same radius), its luminosity multiplies by:
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$L \propto T^{4}$, so doubling $T$ gives $2^{4} = 16$ times the luminosity.
동일한 광도, 서로 다른 별
- $L$이 $r$와 $T$ 모두에 의존하므로, 완전히 다른 두 별이 동일한 발광도를 가질 수 있습니다.
- 적색거성은 차갑기 때문에 $T^4$이 작지만, 거대하므로 $r^2$이 이를 상쇄합니다.
- 백색왜성은 매우-hot이지만 작습니다: 거대한 $T^4$이 미미한 $r^2$에 대항합니다.
- 답변이 놀랍게 보일 때마다 이렇게 확인하십시오. 태양보다 발광도가 $140$배이지만 온도는 불과 $1.6$배인 별은 반드시 훨씬 커야 합니다. 왜냐하면 $L \propto r^2T^4$이기 때문입니다.
Put the three steps for estimating a star's radius in order.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Each step is one line. Keep full precision of L and T until the end, because T is raised to the fourth power.
반경 추정하기, 세 단계로
- 첫째. $\lambda_{\text{max}}$를 측정하고 위엔 법칙(Wien's law)에서 $T$을 구하십시오.
- 둘째. $L$을 얻으십시오. 일반적으로 플럭스(flux)와 거리로부터 구하며, 식은 $L = 4\pi d^2 F$입니다.
- 셋째. 스테판-볼츠만 법칙을 반경에 대해 풀이하십시오:
- 각 단계는 한 줄입니다. $L$과 $T$의 **정밀도(full precision)**를 끝까지 유지하십시오. 왜냐하면 $T$이 네제곱되기 때문에 조급하게 반올림하면 오차가 큽니다.
Combining Wien's law and the Stefan–Boltzmann law lets us estimate a star's radius.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Wien gives $T$, the flux and distance give $L$, then $r = \sqrt{\dfrac{L}{4\pi\sigma T^{4}}}$.
Sunlight has flux 1370 W/m^2 at 1.50e11 m and the Sun's spectrum peaks at 500 nm. What is the Sun's radius, in units of 1e8 m?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
L = 4 pi d^2 F = 3.87e26 W, T = 5800 K, then r = sqrt(L / (4 pi sigma T^4)) = 6.9e8 m against an accepted 6.96e8 m. Three one-line formulae, no telescope resolution needed.
worked example: 처음부터的太阳의 반경
- 지구에서의 태양 빛의 플럭스는 $1370\ \text{W/m}^2$이며, 거리는 $1.50\times10^{11}\ \text{m}$입니다. 태양 스펙트럼의 최대 파장은 $500\ \text{nm}$입니다. 태양의 반경을 추정하십시오.
- 발광도: $L = 4\pi d^2 F = 4\pi(1.50\times10^{11})^2(1370) = 3.87\times10^{26}\ \text{W}$.
- 온도: $T = 2.90\times10^{-3}/(500\times10^{-9}) = 5800\ \text{K}$.
- 반경: $r = \sqrt{\dfrac{3.87\times10^{26}}{4\pi(5.67\times10^{-8})(5800)^4}} = 6.9\times10^{8}\ \text{m}$.
- 통용되는 값은 $6.96\times10^{8}\ \text{m}$입니다. 세 개의 단식 공식으로 망원경 해상도 없이도 가능합니다.
In $L = 4\pi\sigma r^2T^4$ and $F = L/(4\pi d^2)$, the lengths $r$ and $d$ mean the same thing.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
r is the star's own radius; d is its distance from us. Swapping them is the commonest error in this topic, and the two differ by many orders of magnitude.
놓칠 수 있는 점
- 위엔 법칙은 **최대 강도(maximum intensity)**의 파장에 관한 것이며, $T$는 켈빈(kelvin) 단위여야 합니다.
- $\lambda_{\text{max}}$을 **미터(metres)**로 변환하십시오. 상수 $b$는 미터 켈빈 단위로 되어 있습니다.
- $L = 4\pi\sigma r^2T^4$에서 $r$은 별의 반지름이며, $F = L/(4\pi d^2)$에서 $d$은 우리의 거리입니다. 두 가지 다른 길이를 혼동하여互换하는 것이 이 주제의 가장 흔한 실수입니다.
- $T$이 네제곱이므로 마지막 줄까지 정밀도를 유지하십시오.
- 후퇴(receding) 하는 은하의 경우, 위엔 법칙을 사용하기 전에 관측된 최대 파장을 보정하지 않으면 온도가 너무 낮게 나옵니다.
이해했습니다
- 위엔 변위 법칙(Wien's displacement law): 최대 강도의 파장은 열역학적 온도 $\lambda_{\text{max}}T = 2.90\times10^{-3}\ \text{m K}$에 반비례합니다.
- 스테판-볼츠만: $L = 4\pi\sigma r^2T^4$, 즉 발광도는 반경의 제곱과 온도의 네제곱에 비례합니다.
- 반경은 세 단계로 구합니다: 먼저 $\lambda_{\text{max}} \to T$, 그리고 $F$과 $d \to L$, 마지막으로 $r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^4)}$
- $r$(별)과 $d$(우리에게서)을 구분하고, $T^4$의 관계로 인해 끝까지 정밀도를 유지하십시오.