| English | 의미 |
|---|---|
| kinetic energy/kɪˈnetɪk ˈenədʒi/ | 운동 에너지 |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 중력 포텐셜 에너지 |
| thermal energy/ˈθɜːml ˈenədʒi/ | 열에너지 |
| momentum/məʊˈmentəm/ | 운동량 |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | 탄성 포텐셜 에너지 |
| compression/kəmˈpreʃn/ | 압축 |
롤러코스터의 에너지 변환
- 내리막 최상단에서는 천천히, 하단에서는 빠르게 달린다.
- 높이가 속도로 바뀌었다 — 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀐 것이다.
- 에너지는 단순히 두 저장소 사이를 이동할 뿐이다.
중력 위치 에너지
- 질량 $m$을 높이 $\Delta h$만큼 들어 올리면 $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$의 에너지를 저장한다.
- 이는 중력에 반대하여 한 일에 의해 도출된 것이다: $W = mg \times \Delta h$.
중력 PE는 경로가 아닌 높이 변화 Δh에만 의존한다
풍력 터빈은 바람의 운동 에너지를 전기 에너지로 변환한다
운동 및 위치 에너지(Kinetic & potential energy)
PE + KE = 일정
위치 에너지가 운동 에너지로 전환되는데, 총량은 절대 변하지 않는다.
무게 $2.0\ \text{kg}$인 책을 높이 $5.0\ \text{m}$만큼 들어 올렸다. 중력 위치 에너지는 얼마나 증가했는가? ($g = 9.81\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$을 사용하시오.)
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$\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h = 2.0 \times 9.81 \times 5.0 \approx 98\ \text{J}$.
운동 에너지
- 질량 $m$이 속도 $v$로 움직일 때 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$의 운동 에너지를 가진다.
- 이를 가속시키기 위해 한 일에서 비롯된다: $W = Fs = \tfrac{1}{2}mv^{2}$.
$4.0\ \text{kg}$ trolley가 $3.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ 속도로 움직입니다. 이 trolley의 운동 에너지는 얼마입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2} = \tfrac{1}{2} \times 4.0 \times 3.0^{2} = 18\ \text{J}$.
각 에너지 저장소(Energy store)에 따라 달라지는 요소를 매칭하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
세 가지 중 두 가지는 제곱에 비례하므로, 속도이나 신장량을 두 배로 늘리면 에너지는 네 배가 되지만 높이를 두 배로 늘리면 에너지는 두 배가 된다.
두 가지 함정. 제곱: 속도를 두 배로 늘리면 운동 에너지가 두 배가 아니라 네 배가 된다. 높이: $\Delta h$는 수직 높이 변화이며, 경사면의 거리가 아니다 — 길이 $3\ \text{m}$이고 높이가 $1.5\ \text{m}$인 경사면은 $1.5\ \text{m}$에 해당한다.
에너지 변환
- 마찰이 없는 사다리꼴에서 GPE가 KE로 바뀐다: $mgh = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, 따라서 $v = \sqrt{2gh}$.
- 질량이 소거된다 — 모든 물체는 동일한 높이에서 동일한 속도에 도달한다.
- 마찰이 있을 경우 일부 에너지는 열에너지로 바뀐다.
공이 마찰 없는 경사면을 굴러 내려올 때, 중력 위치 에너지(GPE)는 주로 다음 중 무엇으로 전환되는가?
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마찰이 없으면 잃어버린 GPE 전체가 운동 에너지로 전환된다: $mgh = \tfrac{1}{2}mv^{2}$.
무게 2.0 kg의 블록이 정지 상태에서 매끄러운 경사면을 미끄러져 내려와 높이 1.5 m를 내린다. 하단에서의 속도(m/s)는 얼마인가? (g = 9.81 m/s^2)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
mgh = mv^2/2이므로 질량이 약분되며, v = sqrt(2 x 9.81 x 1.5) = 5.4 m/s이다. 경사면을 따른 거리가 아닌 수직 강하(VERTICAL drop)를 사용하시오.
$mg\Delta h$에서는 높이가 경사면을 따라 이동한 거리와 동일하다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
실제로는 상승하거나 감소한 수직 높이(VERTICAL height)여야 한다. 경사면을 따른 거리를 사용하면 항상 에너지 변화량을 1/sin(theta)배만큼 과대평가하게 된다.
worked example: 마찰이 있는 사다리꼴
질량 $2.0\ \text{kg}$의 카트가 길이 $3.0\ \text{m}$이고 높이 차이 $1.5\ \text{m}$인 사다리꼴 최상단에서 정지 상태에서 방출되었다. 하단에 도달했을 때 속도는 $4.0\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이다. 마찰력에 의한 일과 평균 마찰력을 구하시오.
- GPE 감소량: $mg\Delta h = 2.0 \times 9.81 \times 1.5 = 29\ \text{J}$.
- KE 증가량: $\tfrac{1}{2}mv^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 4.0^{2} = 16\ \text{J}$.
- 차이는 마찰력에 의한 일이다: $29 - 16 = 13\ \text{J}$.
- 마찰력: 일 = 힘 × 사다리꼴을 따라 이동한 거리이므로, $F = \dfrac{13}{3.0} = 4.5\ \text{N}$.
- 검산: 마찰이 없었더라면 속도는 $\sqrt{2 \times 9.81 \times 1.5} = 5.4\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$이었을 것이다 — $4.0$보다 클 수밖에 없다.
카트가 거친 경사면을 굴러 내려올 때, 마찰 없는 경사면과 비교했을 때 다음 중 참인 문장은 무엇인가? 모두 선택하시오.
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잃어버린 GPE는 높이 차이에 의해 고정되어 있어 두 경사면 모두 동일하다. 마찰이 일부 에너지를 열 에너지로 가져가므로 하단에서의 KE는 마찰에 대항하여 한 일만큼 정확히 작아진다.
에너지와 운동량
- $p = mv$와 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$를 결합하면 $E_{\text{K}} = \dfrac{p^{2}}{2m}$가 된다.
- 운동량은 알지만 속도가 알 때 유용하다.
운동량을 $p$로 표현한 운동 에너지는:
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$p = mv$과 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$에서 $v = p/m$을 대입하면 $E_{\text{K}} = \dfrac{p^{2}}{2m}$이 된다.
에너지 방법론
- 시작과 끝의 에너지를 적고, 균형을 맞춘다.
- 스프링: 블록의 KE가 최대 압축 시 탄성 위치 에너지 $\tfrac{1}{2}kx^{2}$로 바뀐다.
- 튀어 오름: 높이 비 $\dfrac{h_2}{h_1}$는 유지되는 에너지의 비율이다.
늘려지거나 압축된 스프링은 탄성 PE ½kx²를 저장하며, 곧 운동 에너지로 전환될 준비가 되어 있다
마찰 없는 표면 위에서 블록이 스프링에 충돌한다. 최대 압축 지점에서의 운동 에너지가 모두 ____ 위치 에너지로 전환되었다.
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KE → 탄성 PE $= \tfrac{1}{2}kx^{2}$ (최대 압축 지점), 이후 스프링이 밀어내면서 다시 KE로 전환된다.
마찰이 작용할 때, 일부 역학적 에너지가 열 에너지로 전환된다.
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네 — 그 "손실"된 에너지는 소멸되지 않고 표면 및 주변 환경을 가열시킨다.
worked example: 블록과 스프링의 충돌
블록이 경사면을 미끄러져 내려와 운동 에너지 $60\ \text{J}$으로 스프링에 부딪힌다. 스링이 최대까지 압축되는 동안 블록의 중력 PE는 추가로 $10\ \text{J}$만큼 감소한다. 블록이 잃은 모든 에너지가 상수 $k = 3500\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$인 스프링의 탄성 PE로 바뀐다. 최대 압축량과 그 지점에서의 힘을 구하시오.
- 스프링에 들어간 에너지: $60 + 10 = 70\ \text{J}$ (블록은 KE와 GPE를 모두 잃음).
- 압축: $\tfrac{1}{2}kx^{2} = 70$이므로, $x^{2} = \dfrac{140}{3500} = 0.040$과 $x = 0.20\ \text{m}$이다.
- 최대 압축 지점에서의 힘: $F = kx = 3500 \times 0.20 = 700\ \text{N}$.
- 검산: 힘-압축 그래프에서 $x = 0.20\ \text{m}$까지 선 아래의 면적은 $\tfrac{1}{2} \times 700 \times 0.20 = 70\ \text{J}$ — 다른 방식으로 구한 동일한 에너지.
운동 에너지 $40\ \text{J}$을 가진 블록이 수평면 위의 상수 $k = 2000\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$인 스프링에 충돌한다. 모든 KE가 탄성 PE로 전환된다. 최대 신장량(m)은 얼마인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\tfrac{1}{2}kx^{2} = 40$이므로 $x^{2} = \dfrac{80}{2000} = 0.040$이고 $x = 0.20\ \text{m}$이다.
이해했습니다
- 중력 PE $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ (수직 높이!); 운동 에너지 $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}$
- 마찰이 없는 사다리꼴에서 $mgh = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, 따라서 $v = \sqrt{2gh}$; 마찰이 있을 경우 누락된 에너지는 마찰력에 의한 일임
- 운동량 관점에서는 $E_{\text{K}} = \dfrac{p^{2}}{2m}$; 스프링은 $\tfrac{1}{2}kx^{2}$을 저장함