무작변수의 선형 결합

결합에 대한 수학

• 두 개의 개별 과정의 평균과 분산을 알고 있을 때, 이를 더하면 어떻게 되는가?
• 선형 결합은 결합된 확률 변수의 거동을 예측하게 해 주며, 품질 관리, 금융 및 공학 분야에서 필수적이다.

단일 변수의 선형 변환

• 선형 규칙에 의해 변경되는 단일 변수에 대해:

포아송 분포 Po(3); 평균과 분산 모두 람다=lambda에 등함

서로 독립인 두 변수

• 참고: 분산은 항상 더해진다($X - Y$인 경우에도), 그 이유는 $(-1)^2 = 1$이기 때문이다.

선형 결합에 따른 분포

• $X$가 정규분포라면, $aX + b$도 정규분포이다; 서로 독립인 정규분포들의 합은 정규분포가 된다.
• 서로 독립인 포아송 분포들의 합은 포아송 분포이다: $X \sim \text{Po}(\lambda_1)$와 $Y \sim \text{Po}(\lambda_2)$일 때, $X + Y \sim \text{Po}(\lambda_1 + \lambda_2)$이다.

해설 예제 — 정규분포의 결합

• $X \sim N(10, 4)$과 $Y \sim N(20, 9)$, 서로 독립. $X + Y$의 분포를 구하시오.
• $E(X + Y) = 10 + 20 = 30$. $\text{Var}(X + Y) = 4 + 9 = 13$.
• 따라서 $X + Y \sim N(30, 13)$입니다.
• 정규분포의 선형 결합은 정규분포이며, 서로 독립인 포아송 분포들의 합은 포아송 분포이다.

이해했습니다