| English | 의미 |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 포아송 분포 |
| interval/ˈɪntəvl/ | 구간 |
| mean/miːn/ | 평균 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 분산 |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | 과다산란 |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | 매개변수 |
끝없는 대기열
- 고객들이 분당 평균 3명으로 상점에 도착한다. 다음 분에 정확히 5명이 도착할 확률은?
- **포아송 분포(Poisson distribution)**는 전화 통화부터 방사성 붕괴까지 일정한 속드로 발생하는 드문 사건들을 모델링합니다.
포아송 분포
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$는 고정된 구간 내에서 일정한 속도 $\lambda$로 우연한 사건의 발생 횟수를 모델링합니다:
해설 예제. 전화가 시당 $\lambda = 4$개의 비율로 들어온다. P(정확히 2통) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
무작위로 대열에 들어오는 사람들은 포아송 분포를 따른다
포아송 분포
X ~ Po(λ)
포아송 분포는 구간 내 랜덤 이벤트의 횟수를 세며, 평균과 분산 모두 λ입니다.
X ~ Po(3)일 때, P(X = 2)를 구하시오. (e⁻³ × 3²/2! = 3dp로 답하기)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
X ~ Po(2)일 때, P(X = 0) = e⁻². 이를 구하시오. (3dp)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
각 포아송 개념에 맞는 결과를 매칭하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
포아송 분포에서 평균과 분산은 모두 lambda이다.
포아송 분포의 성질
- 포아송 변수에 대해 평균과 분산은 모두 $\lambda$와 같다: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- 이는 고유한 특성으로, 다른 일반적인 분포는 이 특성을 가지지 않는다.
Po(3)의 경우 평균과 분산은 모두 3이며, 막대는 P(X = k)를 나타낸다.
평균 = 분산이 검정 기준이다. 데이터의 평균이 분산과 약 같다면 포아송 모델이 적합할 수 있다. 만약 분산이 평균보다 훨씬 크다면 사건들이 독립적이지 않으며(과분산), 포아송 모델은 부적절하다.
X ~ Po(3)일 때, X의 평균은?
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포아송 변수의 경우 평균과 분산 모두 λ = 3이다.
X ~ Po(3)일 때, X의 분산은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
포아송 변수의 분산 역시 λ = 3이다.
포아송 분포에서 평균과 분산은 항상 같다.
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포아송 분포의 정의적 성질 중 하나: E(X) = Var(X) = λ
이항 분포에 대한 포아송 근사
- 포아송 분포는 $n$가 크고 $p$이 작을 때 이항 분포를 근사한다.
- 포아송 모수로 $\lambda = np$를 사용하십시오.
- 예시: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01)일 때 포아송 근사를 사용한다: λ = np. λ를 구하시오.
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λ = np = 200 × 0.01 = 2
worked example — 근사법
- $X \sim B(100, 0.02)$. 포아송으로 근사함: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- 정규 분포는 적절한 조건에서 이항 분포를 연속성 보정과 함께 근사한다.
이해했습니다
- 포아송: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- 평균 및 분산이 모두 $\lambda$와 같다
- 큰 $n$, 작은 $p$일 때 이항 분포를 근사함 ($\lambda = np$ 사용)