| English | 의미 |
|---|---|
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | 이산형 확률변수 |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | 기대값 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 분산 |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 확률분포 |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 이항분포 |
| trial/ˈtraɪəl/ | 실험 |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 기하분포 |
가중 주사위
- 공정한 주사위는 각 면에 대해 확률 $\dfrac{1}{6}$를 가집니다. 하지만 주사위가 가중되어 있다면 어떻게 될까요? 각 결과에는 여전히 확률이 있지만, 더 이상 같지 않습니다.
- **이산 무작변수(discrete random variable)**는 가능한 각 결과에 확률을 할당합니다 — 통계 모델링의 기초입니다.
이산 무작변수
- 이산 무작변수 $X$는 개별적인 값을 가지며, 각각에 확률이 부여됩니다 (它们的和为1).
- 기대값(expected value)(평균): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- 분산(variance): $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
풀이 예제. $X$이 1, 2, 3를 취할 확률은 각각 0.2, 0.5, 0.3이다. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
확률은 1로 합쳐져야 합니다. 기대값이나 분산을 계산하기 전에 항상 $\sum P(X = x) = 1$인지 확인하십시오. 그렇지 않으면 확률 분포가 유효하지 않습니다.
이항 분포
X ~ B(n, p)
각 막대는 k개의 성공 확률입니다. n과 p를 변경하면 평균 np가 이동함을 보십시오.
확률 분포표에서 확률들의 합은 1이어야 합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
유효한 분포는 모든 확률의 합이 1입니다.
X가 1, 2, 3을 취할 때 P는 각각 0.2, 0.5, 0.3입니다. E(X) = ΣxP(X=x)를 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
E(X) = 2.1이고 E(X²) = 4.9일 때, Var(X) = E(X²) − (E(X))²를 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49.
각 이항 분포 개념을 결과에 매칭하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
이항 분포는 고정된 n개 시행과 일정한 p를 가지며, 평균은 np이고 분산은 np(1−p)입니다.
이항 분포
- 이항 분포(binomial) $X \sim B(n, p)$ — $n$개의 독립적 실험에서의 성공 횟수:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
각 막대는 B(10, 0.3)에 대해 P(X = r)이며, 분포는 평균 np = 3에서 정점을 가집니다.
X ~ B(10, 0.3)일 때, E(X) = np는?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3.
X ~ B(10, 0.3)일 때, Var(X) = np(1−p)은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1.
기하 분포
- 기하 분포(geometric) — 첫 성공이 이루어진 실험 횟수:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
p = 0.2인 기하 분포에서 E(X) = 1/p입니다. 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5입니다. 평균적으로 첫 성공은 5번째 시도에 발생합니다.
해설 예시 — 이항 분포
- $X \sim B(10, 0.3)$. $P(X = 2)$와 $E(X)$를 구하십시오.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
이해했습니다
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- 이항 분포 $B(n,p)$: $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- 기하 분포: $r$번 실험에서 첫 성공, $E = \dfrac1p$