| English | 의미 |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | 로그 |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | 지수 방정식 |
| decay/dɪˈkeɪ/ | 감쇠 |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | 선형화 |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | 수렴성 |
Building on what you know
- Pure 3 doesn't introduce entirely new ideas — it deepens and extends the skills from Pure 2.
- Logarithms 对数, trigonometry, and numerical methods return with harder problems and richer applications.
Logarithms revisited
- The log laws with $e^x$ and $\ln x$ return in harder contexts: solving exponential equations 指数方程, modelling growth and decay 衰减, and linearising 线性化 data.
- Key skill: when the unknown is in the power, take logs of both sides.
Worked example. Solve $5e^{2x} = 30$. Divide: $e^{2x} = 6$. Take $\ln$: $2x = \ln 6$, so $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
A line r = a + t b: start at a, then slide by t lots of the direction b
ln(e³)의 값은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
ln과 e는 역함수 관계이므로, ln(e³) = 3입니다.
5e^(2x) = 30의 x를 구하십시오. (소수점 아래 2자리까지)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
e^(2x) = 6이므로, 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90입니다.
Trigonometry revisited
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- The compound- and double-angle formulae, and the $R$-form of $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- These identities are essential for integration and solving trig equations.
Don't mix up the identities. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (plus sign), not $1 - \tan^2\theta$. The sign comes from dividing $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ by $\cos^2\theta$.
단위원
(cos θ, sin θ)
**R공식(R-formula)**은 a sin θ + b cos θ를 하나의 파동으로 변환하며, 모든 과정은 이 원 위에 존재합니다.
sec²θ ≡ 1 + tan²θ를 사용하여, tan θ = 3일 때 sec²θ의 값은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
올바른 항등식은 sec²θ ≡ 1 + tan²θ (뺄셈이 아닌 덧셈)입니다.
Numerical methods revisited
- A sign change to trap a root, then an iterative formula $x_{n+1} = F(x_n)$.
- Convergence 收敛 requires $|F'(x)| < 1$ near the root.
allow_no_figure: Review lesson consolidating Pure 2 skills (logarithms, trigonometry, numerical methods) — no new visual concepts introduced.
수치적 근은 부호 변화를 통해 찾은 후, 다음을 반복적으로 적용하여 구합니다:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
반복法(iteration)은 값이 근에 수렴할 때까지 x_{n+1} = F(x_n)를 적용합니다.
Worked example — R-formula application
- Express $3\sin\theta + 4\cos\theta$ in the form $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- So $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- Maximum value is $5$ (when $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- Plotting $\ln y$ against $x$ gives a line whose gradient and intercept find the constants (using indices and inverse functions); know the reciprocal trig functions secant, cosecant, cotangent; and iteration $x_{n+1}=F(x_n)$ shows convergence to a root.
3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α)일 때, R의 값은 무엇입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
You've got it
- 3.2 logs, 3.3 trig identities/angle formulae, 3.6 numerical methods = the Pure 2 skills
- use $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ and the R-formula as before
- find roots by a sign change then iteration $x_{n+1} = F(x_n)$