| English | 의미 |
|---|---|
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | 부분분수 |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | 유계함수 |
| factorise/ˈfæktəraɪz/ | 인수분해 |
| repeated factor/rɪˈpiːtɪd ˈfæktə/ | 중근 인수 |
| irreducible quadratic/ɪrɪˈdjuːsɪbl kwɒˈdrætɪk/ | 불가약 이차식 |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 이항 전개식 |
분해 불가능한 것 분리하기
- $\dfrac{1}{x^2 - 1}$를 직접 적분할 수는 없지만, 이를 $\dfrac{1}{2(x-1)} - \dfrac{1}{2(x+1)}$로 나누고 각 부분은 간단한 로그 함수입니다.
- 부분분수는 어려운有理函数를 쉬운 조각으로 바꾼다 — 적분과 급수 전개에 필수적입니다.
부분분수
- 아래쪽 인수가 분해된 분수는 더 단순한 분수로 나뉩니다:
- 이는 有理函数를 적분하거나 전개하기 쉽게 만듭니다.
풀이 예제. $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$. 양변에 곱하기: $x+4 = A(x-2) + B(x+1)$. $x = -1$ 설정: $3 = -3A \Rightarrow A = -1$. $x = 2$ 설정: $6 = 3B \Rightarrow B = 2$. 결과: $\dfrac{2}{x-2} - \dfrac{1}{x+1}$.
내적은 b의 a 방향 성분을 측정함: |b| cos θ
역함수 곡선(reciprocal curves)
y = a/(x − b) + c
부분분수 분해(partial fractions)는 어려운 분수를 간단한 역함수 조각으로 나누어, 각각 수직 및 수평 점근선을 가질 수 있게 합니다.
(x+4)/((x+1)(x−2)) = A/(x+1) + B/(x−2)로 쓸 때, B를 구하기 위해 x = 2를 대입하십시오.
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x = 2일 때: 2 + 4 = B(2 + 1), 즉 6 = 3B이므로 B = 2입니다.
부분분수 분해는有理関数(rational function)의 적분을 쉽게 만듭니다.
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각 단순 분수의 적분은 로그 함수이므로, 먼저 분해하여 적분하는 것이 쉽습니다.
중첩 인수와 이차 인수
- 중첩 인수 $(cx+d)^2$: $\dfrac{B}{cx+d} + \dfrac{C}{(cx+d)^2}$이 필요합니다.
- 환원 불가능한 이차식 $(x^2 + a^2)$: $\dfrac{Bx + C}{x^2 + a^2}$이 필요합니다.
중첩 인수 항을 잊지 마십시오. $\dfrac{1}{x(x+1)^2} = \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{x+1} + \dfrac{C}{(x+1)^2}$. $\dfrac{C}{(x+1)^2}$ 항을 누락하는 것은 흔한 오류입니다.
휴일 그림
1/(x(x+1)²)의 부분분수 형태에는 다음이 포함됩니다:
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중복 인자(x+1)²는 B/(x+1)와 C/(x+1)² 항 모두를 필요로 합니다.
有理指数의 이항 전개
- 분수/음수 $n$에 대해 $|x| < 1$일 때 유효합니다:
- e.g. $(1+x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$
fractional 또는 negative n에 대한 이항 전개(binomial expansion) (1+x)ⁿ은 다음 조건에서만 효합니다:
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양이 아닌 정수 지수일 경우, 급수는 |x| < 1일 때만 수렴합니다.
(1+x)^(1/2)의 전개에서 x²의 계수는 n(n-1)/2! (단, n=1/2)입니다. 이를 구하십시오.
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(1/2)(1/2 - 1)/2 = (1/2)(-1/2)/2 = -1/8 = -0.125.
풀이 예제 — 부분분수를 이용한 적분
- $\displaystyle\int \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \int\left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2\ln|x-2| - \ln|x+1| + C$.
allow_no_figure: 대수 기법(부분분수 분해) — 시각적 내용은 도표가 아니라 대수 연산 자체입니다.
- 인수 정리와 餘定理을 사용합니다: 다항식을 나누면 상수항과 나머지를 얻습니다.
∫ 2/(x-2) dx = 2 ln|x-2| + C입니다. x = 3일 때 2 ln|x-2|의 값은 무엇입니까? (소수점 아래 2자리까지)
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2 ln|3-2| = 2 ln(1) = 2 × 0 = 0.
이해했습니다
- 부분분수는有理函数를 적분/전개 위해 분리합니다.
- 형태를 아래쪽에 맞춰서(중첩 인수 → 추가 $\dfrac{C}{(cx+d)^2}$ 항)
- 이항은有理指数 $n$에 대해 $|x| < 1$일 때 작동합니다