| English | 의미 |
|---|---|
| root/ruːt/ | 근 |
| numerical method/njuːˈmerɪkl ˈmeθəd/ | 수치적 방법 |
| accuracy/ˈækjʊrəsi/ | 정밀도 |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 부호 변경 |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 반복 계산 |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | 수렴하다 |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 반복 공식 |
| rearrangement/ˌriːəˈreɪndʒmənt/ | 변형 |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | 발산하다 |
보이지 않는 근
- 일부 방정식은 깔끔한 대수적 해를 갖지 않습니다. $x^3 + x - 1 = 0$는 인수로 분해할 수 없습니다.
- 하지만 함수의 부호가 바뀌므로 근이 $0$와 $1$ 사이에 존재함을 알 수 있습니다. 수치법으로 원하는 정밀도로 근을 구할 수 있습니다.
근 찾기
- 많은 방정식을 정확히 풀 수 없습니다. 근은 해입니다.
- 부호 변경: $f(a)$과 $f(b)$의 부호가 반대이고(중간 단절이 없는 경우), $a$와 $b$ 사이에 근(root)이 존재합니다.
풀이 예제. $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0) = -1$ (음수), $f(1) = 1$ (양수). 부호 변화 → 근이 $0$과 $1$ 사이에 있음.
부호 변화가 정확히 하나의 근임을 보장하지는 않습니다. $a$와 $b$ 사이에 3개의 근(또는 어떤 홀수 개)이 있을 수 있습니다. 부호 변화는 오직 최소 하나가 있음을 알려줄 뿐입니다.
반복: 곡선 위로 올라가고 y = x로 이동하며 단계가 근으로 수렴함
근(root)은 어디에 있습니까?
y = ax³ + bx² + cx + d
근은 곡선이 0을 가로지르는 지점입니다. f(x)의 **부호 변화(sign change)**는 두 x값 사이에 근이 존재함을 의미합니다.
f(a)와 f(b)의 부호가 서로 다르고(f가 그 사이에서 연속일 경우), a와 b 사이에:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
연속 함수의 부호 변화는 a와 b 사이에 근이 존재함을 보장합니다.
f(x) = x³ + x − 1입니다. f(0) = −1이고 f(1) = 1입니다. 근은 두 정수 사이 어디에 있습니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
0과 1 사이에 부호 변화가 있습니다 (f(0) < 0, f(1) > 0), 따라서 근은 0과 1 사이에 있습니다.
반복법
- 방정식을 $x = F(x)$ 형태로 변형합니다.
- 반복 공식 $x_{n+1} = F(x_n)$를 초기 추측값 $x_0$에 적용합니다.
- 값들이 수렴하면 근으로 수렴합니다. 요구된 정밀도가 도달할 때까지 계속 진행합니다.
반복: $x_0$에서 시작하여 각 단계마다 $F$을 적용하고 $y = x$에 대해 반사합니다. 코브웹이 고정점—즉, 근으로→ spirals into the fixed point — the root.
반복 공식(iterative formula)의 형태는 다음과 같습니다:
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반복은 첫 추측값에서 시작하여 x_{n+1} = F(x_n)를 반복적으로 적용합니다.
반복 값이 일정한 수로 수렴하면, 그것은 근에 수렴했습니다.
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수렴(convergence)은 수열이 고정된 값에 접근하는 것을 의미하며, 이는 방정식의 근입니다.
x_{n+1} = ∛(1 − x_n)를 x₀ = 0에 대해 사용할 때, x₁의 값은 무엇입니까? (소수점 아래 2자리까지)
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x₁ = ∛(1 − 0) = ∛1 = 1.
풀이 예제 — 반복법
- $x^3 + x - 1 = 0$를 $x_{n+1} = \sqrt[3]{1 - x_n}$을 사용하여 $x_0 = 0.5$에서 시작하여 풉니다.
- $x_1 = \sqrt[3]{0.5} = 0.794$, $x_2 = \sqrt[3]{0.206} = 0.591$, $x_3 = \sqrt[3]{0.409} = 0.742$, ...
- 값들은 $x \approx 0.682$로 수렴합니다.
반복 공식 x_{n+1} = F(x_n)는 시작값과 상관없이 항상 수렴합니다.
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수렴을 위해서는 근 근처에서 |F′(x)| < 1이어야 합니다. 잘못된 재배열이나 시작값은 발散了 초래할 수 있습니다.
변형 선택하기
- 모든 변형이 수렴하지는 않습니다. 반복 $x_{n+1} = F(x_n)$는 근 근처에서 $|F'(x)| < 1$일 때 수렴합니다.
- 발산(값들이 멀어짐)하면 다른 변형을 시도합니다.
이해했습니다
- $f$의 부호 변화가 $a$과 $b$ 사이에 근을 가두게 됩니다.
- 반복: 시작 추측값에서 $x_{n+1} = F(x_n)$ 사용
- 값들이 수렴(안정화)하면 근에 가까워집니다.
- 수렴에는 근 근처에서 $|F'(x)| < 1$가 필요합니다.