적분법 (순수 2)

어휘

English	의미
integral/ˈɪntɪɡrəl/	적분
exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/	지수함수
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	미분방정식
trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/	사다리꼴 법칙
strip/strɪp/	띠
estimate/ˈestɪmət/	추정
identity/aɪˈdentɪti/	동등식

eˣ가 벗어날 수 없는 면적

$e^x$의 적분은 $e^x$입니다 — 동일한 함수입니다. 이 자기 지시적(self-referential) 성질은 지수 함수가 미분방정식의 핵심이 되는 이유입니다.
적분 기법은 면적, 부피 및 실제 문제의 해를 구하는 데 도움을 줍니다.

$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax+b| + C,$$

$$\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C.$$

Example

worked example. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. $\dfrac{1}{3}$은 역연쇄 법칙에서 유래합니다.

Watch out

$\dfrac{1}{a}$를 잊지 마십시오. $e^{ax+b}$을 적분할 때는 반드시 $a$로 나누어야 합니다. $e^{2x}$의 적분은 $\dfrac{1}{2}e^{2x}$이지 $e^{2x}$가 아닙니다.

사다리꼴 법칙은 너비 h의 직선 상단 테두리를 더하여 면적을 추정합니다

탐색하기

면적 = ∫ f(x) dx

적분은 여전히 면적을 나타냅니다. a와 b를 드래그하여 곡선 아래의 막대 영역을 합산하십시오.

연습

∫ eˣ dx의 값은 무엇입니까?

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연습

∫ (1/x) dx의 값은 무엇입니까?

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연습

∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C입니다. a의 값은 무엇입니까?

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연습

∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C입니다. 0부터 π/6까지 평가하십시오. (소수점 아래 2자리까지)

난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스

$\sin$/$\cos$의 지수를 적분하기 위해서는 먼저 항등식을 사용하여 지수를 제거해야 합니다.
예: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$이므로, $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$입니다.

$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + \cdots + y_{n-1})\big]$$

사다리꼴 규칙: 면적을 줄기로 나누고, 각 줄기를 사다리꼴로 근사하여 면적들을 합산합니다.

연습

사다리꼴 법칙(trapezium rule)은 정적분을 정확히 구할 수 없을 때 근사값을 추정하는 방법입니다.

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연습

h = 1인 사다리꼴 법칙을 사용하여 y값 1, 4, 9로 ∫₁³ x² dx를 추정하십시오.

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$\int_1^4 x^2\,dx$를 3개의 줄기($h = 1$)를 사용하여 추정합니다.
$y$ 값: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
$\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
정확한 값: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. 추정은 매우 가깝습니다.
적분은 미분의 역이며, 더 복잡한 적분에는 **대입법(integration by substitution)**을 사용합니다.

Key idea

$\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
적분 전에 항등식을 사용하여 $\sin$/$\cos$의 지수를 제거합니다.
사다리꼴 법칙은 적분을 사다리꼴 줄무늬의 합으로 추정합니다.