| English | 의미 |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 적분 |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 적분 상수 |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 정적분 |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | 회전체 부피 |
곡선 아래 면적
- 추력이 시간에 따라 변할 때 로켓은 얼마나 많은 연료를 소모합니까? 곡선形 논지는 얼마나 많은 토지를 차지합니까?
- 적분법은 이러한 질문에 답합니다 — 변화율로부터 누적된 총량을 구합니다.
부정적분
- 적분은 미분의 역연산입니다:
- 상수 $+\,C$는 적분상수입니다.已知한 점을 통해 구할 수 있습니다.
해설 예시. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. 곡선이 점 $(1, 5)$를 지나면: $1^3 + C = 5$이므로, $C = 4$이고 $y = x^3 + 4$입니다.
정적분은 곡선과 x축 사이의 그림자 영역을 측정합니다
곡선 아래의 면적
면적 = ∫ f(x) dx
한계 a와 b를 드래그하시오 — 곡선과 x축 사이의 영역이 정적분이다.
부정적분에 왜 "+ C"가 포함되는가?
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상수의 미분은 0이므로 원함수는 임의의 상수를 가질 수 있음 — 따라서 + C가 붙는다.
dy/dx = 4x이고 곡선이 점 (1, 7)을 지날 때, y = 2x² + C에서 C의 값은 몇인가?
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y = 2x² + C이다. 점 (1, 7)에서: 7 = 2(1)² + C → C = 5.
정적분
- 정적분은 하나의 수치를 제공합니다: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- $p$부터 $q$까지 곡선 아래의 면적은 $\displaystyle\int_p^q y\,dx$입니다 (두 곡선의 경우, 위쪽 곡선 − 아래쪽 곡선을 적분합니다).
정적분 $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. 음영 부분의 면적은 $9$ 평방 단위.
x축 아래쪽의 면적은 음수입니다. 곡선이 축 아래로 내려가면 적분 결과는 음수 값을 가집니다. 전체 면적을 구하려면 근(root)에서 분할하여 각 부분의 절댓값을 취해야 합니다.
정적분 ∫₀³ 2x dx를 0부터 3까지 평가하십시오 (피적분함수: 2x).
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∫2x dx = x²이므로 [x²]₀³ = 9 − 0 = 9.
∫₀² 3x² dx를 계산하시오.
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∫3x² dx = x³이므로 [x³]₀² = 8 − 0 = 8.
곡선이 x축 아래에 있을 때, 정적분은 음의 값을 산출한다.
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x축 아래의 영역은 적분값에 음으로 기여한다. 실제 면적을 구하려면 절댓값을 취해야 한다.
회전체 부피
- $x$축에 대한 회전체적: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- 반지름이 $y$이고 두께가 $dx$인 무한히 얇원판들이 쌓여 있는 것으로 생각하세요.
곡선 아래 영역을 x축 주위로 회전하면 회전체가 생성되며, 이는 얇은 원판들의 합으로 계산됩니다
y = x를 x축 주위로 0부터 2까지 회전시켰을 때 부피는 π₀² x² dx입니다. (π를 제외한) 값은 얼마입니까?
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∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.67.
worked example (해설 예시)
- $y = x^2$의 $x = 0$부터 $x = 3$까지 곡선 아래 면적을 구하세요:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- **부정적분(improper integral)**은 무한한 한계 또는 유계하지 않은 피적분식을 포함합니다.
이해했습니다
- 적분은 미분을 역으로 만듭니다; 상수 $+\,C$를 기억하세요
- 정적분 $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = 곡선 아래 면적
- $x$축을 중심으로 한 회전체 적분 $= \pi\int y^2\,dx$
- 축 아래쪽의 면적은 음수입니다 — 전체 면적을 위해 분할하여 절댓값을 취하세요