미분

변화율

• 연료가尽내는 정확한 순간 로켓은 얼마나 빠르게 가속하고 있습니까? 롤러코스터의 최고점에서 경사는 얼마나 급한가요?
• 미분법은 이러한 질문에 답합니다 — 곡선 위의 임의의 점에서의 순간변화율을 구합니다.

거듭제곱 법칙 및 연쇄 법칙

• 미분법은 각 점에서의 곡선의 기울기를 구합니다 — 도함수 $f'(x)$ 또는 $\dfrac{dy}{dx}$.
• 거듭제곱 법칙: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (임의의 유리수 $n$).
• 함수 속의 함수에 대한 연쇄 법칙: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.

도함수 $\dfrac{dy}{dx} = 2x$는 임의의 점에서의 기울기를 줍니다: $x = 2$에서 기울기는 $4$입니다.

정지점

• 정지점은 $\dfrac{dy}{dx} = 0$인 곳입니다 (접선이 평평함).
• 이계도함수로 테스트합니다:
  • $f''(x) > 0$ → 최소값,
  • $f''(x) < 0$ → 최대값.
• 또한: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → 증가; $< 0$ → 감소.

최대값이나 최소값에서 기울기 dy/dx는 0

해설 예제 — 정지점 찾기

• $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
• $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
• 정지점은 $x = 1$와 $x = 3$에 있습니다.
• $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: $x=1$에서 $f'' = -6 < 0$ (최대값); $x=3$에서 $f'' = 6 > 0$ (최소값).

미분법의 응용

• 최적화: $\dfrac{dy}{dx} = 0$를 설정하여 최대 이익 또는 최소 비용을 구합니다.
• 변화율: 속도는 변위의 도함수이며, 가속도는 속도의 도함수입니다.
• 곡선 스케칭: 정지점과 $\dfrac{dy}{dx}$의 부호는 모양을 드러냅니다.
• 도함수는 법선(접선에 수직)의 기울기도 줍니다.

이해했습니다