| English | 의미 |
|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 수렴 |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | 등비급수 |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | 이항 전개식 |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 이항 계수 |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | 등차수열 |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | 공차 |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | 등비수열 |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | 공비 |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | 무한합 |
The infinite sum that converges 收敛
- Add $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ forever. The total? Exactly $2$.
- This is a geometric series 等比级数 with ratio $\dfrac{1}{2}$. Not all infinite sums behave this nicely — but the ones that do are powerful tools in finance, physics, and computing.
The binomial expansion 二项展开式
- For a positive integer $n$:
- where $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ is a binomial coefficient 二项式系数.
Worked example. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. The coefficients $1, 4, 6, 4, 1$ are the 4th row of Pascal's triangle.
이항계수 C(5, 2) = 5! / (2! 3!)의 값은 몇인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
Arithmetic progressions 等差数列 (AP)
- An AP adds a constant common difference 公差 $d$ each step: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- $n$th term: $u_n = a + (n-1)d$.
- Sum of first $n$ terms: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
초항 a = 3, 공차 d = 4인 등차수열의 5항은 무엇인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
초항 a = 2, 공차 d = 3인 등차수열의 첫 5항의 합은 얼마인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
Geometric progressions 等比数列 (GP)
- A GP multiplies by a constant common ratio 公比 $r$ each step: $a, ar, ar^2, \ldots$
- $n$th term: $u_n = ar^{n-1}$.
- Sum of first $n$ terms: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (for $r \neq 1$).
AP grows linearly (add $d$); GP grows exponentially (multiply by $r$). For $r > 1$, the GP eventually dwarfs the AP.
항의 열을 구성하다
uₙ = a · rⁿ⁻¹
각 항마다 r를 곱한다. |r| < 1인 경우 항이 작아지며 무한합이 수렴한다.
초항 a = 2, 공비 r = 3인 등비수열의 4항은 무엇인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.
Sum to infinity 无穷和
- A GP converges when $|r| < 1$ — the terms get smaller and smaller.
- Sum to infinity: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ is essential. If $|r| \geq 1$, the terms don't shrink and the infinite sum diverges (grows without bound). The formula $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ only applies when the series converges.
- An arithmetic progression has a common difference; a geometric progression a common ratio. A convergent geometric progression ($|r|<1$) shows convergence to a sum to infinity.
초항 a = 8, 공비 r = 0.5인 등비수열의 무한합은 얼마인가?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
공비 r = 1.5인 기하급수는 유한한 무한합을 가진다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
무한합 공식은 |r| < 1일 때만 적용된다. r = 1.5인 경우 급수는 발산한다.
각 공식이 계산하는内容进行 매칭하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
d는 등차수열, r는 등비수열을 나타냄 — 공식을 식별하는 것이 시험 문제의 반分以上이다.
You've got it
- binomial expansion: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- if $|r|<1$, sum to infinity $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$