원주율 측정법

라디안이 필요한 이유?

• 엔지니어는 도(degree) 단위로 각도를 측정합니다. 그러나 수학자들은 라디안(radian) 을 선호하며, 그 이유는 명확합니다.
• 라디안은 자연스러운 단위입니다. 반지름과 길이가 같은 호(arc)를 잘라내는 각도입니다.
• 라디안을 사용하면 호 길이와 부채꼴 면적 공식이 매우 간결해집니다.

라디안이 무엇인가?

• 라디안은 반지름과 길이가 같은 호를 잘라내는 각도입니다.
• 연결고리: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
• 도(degree) → 라디안: $\dfrac{\pi}{180}$를 곱합니다; 라디안 → 도(degree): $\dfrac{180}{\pi}$를 곱합니다.

호 길이와 부채꼴 면적

• 반지름이 $r$이고 각도가 $\theta$인 라디안 단위인 부채꼴:
  • 호 길이 $s = r\theta$,
  • 부채꼴 면적 $A = \tfrac12 r^2 \theta$.

라디안의 우아함: 호 길이 $= r\theta$과 부채꼴 면적 $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. 복잡한 $\dfrac{\theta}{360}$ 분수를 쓸 필요가 없습니다.

현과 호 사이의 영역(세그먼트) 면적

• 세그먼트(segment) 는 현(chord)과 호(arc) 사이에 있는 영역입니다.
• 세그먼트 면적 = 부채꼴 − 삼각형 = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
• 삼각형의 면적은 $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (면적 공식에 사인 법칙 사용).

접선이 원과 한 점에서 만나며, 그 지점에서 반지름과 수직을 이룸

worked example (해설 예시)

• 부채꼴: $r = 5$, $\theta = 2$ rad.
• 호 길이 $= 5 \times 2 = 10$.
• 부채꼴 면적 $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
• 세그먼트 면적 $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.

이해했습니다