카이제곱 검정

데이터가 이론에 부합하는가?

• 주사위를 던졌을 때 각 면이 동등하게 나올 것을 기대하거나, 눈 색과 머리카락 색이 독립적임을 예상합니다. 데이터가 실제로 이 예상과 일치합니까?
• $\chi^2$(카이제곱) 검정은 관측 빈도가 모델이 예측하는 것과 얼마나 다른지를 측정하고, 그 격차가 우연으로 설명하기엔 너무 큰지 여부를 판단합니다.

검정 통계량

• 각 관측 빈도 $O$를 모델로부터의 기대 빈도 $E$와 비교합니다:

• 작은 $\chi^2$은 데이터가 잘 맞음을 의미하고, 큰 값은 맞지 않음을 의미합니다.

기각 영역

• $\chi^2$를 우측 자유도에 대한 표의 임계값과 비교합니다.
• $\chi^2$가 임계값을 초과(상단 꼬리)하면, 모형을 기각합니다.

큰 χ² 값이 음영 꼬리에 위치함 — 우연일 수 없을 정도로 크므로 모형을 기각함.

worked example (해설 예시)

• 관측 빈도 $20, 30, 25, 25$, 각기 $25$로 기대됨.
• $\chi^2 = \dfrac{(20-25)^2 + (30-25)^2 + 0 + 0}{25} = \dfrac{25 + 25}{25} = 2$.
• 임계값에 비해 $\chi^2$이 $2$보다 작다 — 데이터가 잘 맞음.

두 가지 용도

• 적합도 검정: 데이터가 제안된 분포(균일, 이항, 포아송 등)를 따르는가?
• 독립성 검정: 배열표에서 두 분류가 독립인가? (기대 $= \dfrac{\text{row total} \times \text{column total}}{\text{grand total}}$.)

이해했습니다