| English | 의미 |
|---|---|
| continuous variable/kənˈtɪnjuːəs ˈveərɪəbl/ | 연속 변수 |
| probability density function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti ˈfʌŋkʃn/ | 확률 밀도 함수 |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | 기대값 |
| cumulative distribution function/ˈkjuːmjʊlətɪv ˌdɪstrɪˈbjuːʃn ˈfʌŋkʃn/ | 누적 분포 함수 |
| median/ˈmiːdiːən/ | 중위수 |
| percentile/pəˈsentaɪl/ | 백분위수 |
| quartile/ˈkwɔːtaɪl/ | 사분位数 |
Probability as area
- For a continuous variable 连续变量 — a height, a waiting time — no single exact value has a probability; there are infinitely many.
- Instead, probability is the area under a curve, the probability density function 概率密度函数 $f(x)$. The whole area is $1$.
The density function and expectation 期望
- $P(a < X < b) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, and the total area $\int f = 1$.
- The mean of any function of $X$:
Probabilities are areas under f(x); the total area over the whole range is exactly 1.
연속 확률 변수
P(a < X < b) = ∫ f(x) dx
연속 변수에 대해 확률은 밀도 곡선 아래의 면적입니다.
확률 밀도 함수 전체 아랫면적의 합은 무엇이어야 합니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
확률 밀도 함수(pdf)는 전체 구간에서 적분하면 1이 됩니다.
The cumulative distribution function 累积分布函数
- The CDF accumulates probability from the left:
- It runs from $0$ to $1$, and differentiating recovers the density: $f(x) = F'(x)$.
The CDF $F(x)$ rises from 0 to 1; the median is read off where it reaches a height of 0.5
누적 분포 함수 F(x)는 다음을 나타냅니다:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
F(x) = P(X ≤ x), 즉 x까지의 누적 면적입니다.
CDF를 미분하면 밀도를 얻습니다: f(x) = F-______(x).
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
f(x) = F′(x): 밀도는 CDF의 미분값입니다.
Worked example — the median 中位数
- The median $m$ splits the area in half: $F(m) = 0.5$.
- For $f(x) = \tfrac12 x$ on $[0, 2]$: $F(x) = \tfrac14 x^2$, so $\tfrac14 m^2 = 0.5$ gives $m = \sqrt2 \approx 1.41$.
Percentiles 百分位数 work the same way. The lower quartile 四分位数 solves $F(x) = 0.25$; the 90th percentile solves $F(x) = 0.9$. Always set $F$ equal to the fraction you want.
f(x) = ½x on [0,2]일 때, F(x) = ¼x²입니다. 분位数(median)는 ¼m² = 0.5를 만족합니다. m은 얼마입니까? (소수점 이하 2자리)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
¼m² = 0.5 → m² = 2 → m = √2 ≈ 1.41.
연속 분포의 분位数(median) m은 다음을 만족합니다:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
분位数는 면적을 절반으로 나눕니다: F(m) = 0.5.
Density is not probability
$f(x)$ can exceed 1. A density isn't a probability — only the area is. A tall narrow peak can have $f(x) > 1$ as long as the total area stays $1$.
- Use cumulative distribution functions (CDFs) to find probabilities and percentiles, and the CDF of a related variable.
확률 밀도 f(x)는 1보다 클 수 있습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
면적이 1 이하여야 할 뿐이며, 밀도 자체는 좁은 구간에서 1을 초과할 수 있습니다.
You've got it
- probability = area under $f(x)$; total area $= 1$ (density itself can exceed 1)
- the CDF $F(x) = P(X \leq x) = \int f$, and $f = F'$
- the median solves $F(m) = 0.5$; percentiles solve $F(x) =$ that fraction