| English | 의미 |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | 저항력 |
| position/pəˈzɪʃn/ | 위치 |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | 연쇄 법칙 |
| separable/ˈsepərəbl/ | 분리 가능함 |
| separate/ˈseprət/ | 분리 |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | 적분 |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | 경계조건 |
힘이 계속 변할 때
- 지구 근처 중력은 대략 일정하지만, 행성의 중력, 자동차의 공기 저항, 자기력 등은 위치에 따라 변합니다.
- 위치에 의존하는 힘에는 뉴턴의 법칙을 더 정교한 형태로 적용해야 합니다.
위치 함수로서의 가속도
- 힘(따라서 가속도)이 위치 $x$에 의존할 때, 가속도를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:
- 이는 연쇄 법칙에 의한 결과: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
힘이 위치에 따라 변할 때, 한 일(F-x 그래프 아래 면적)은 그래프 아래 면적이다
변화하는 힘에 의한 일
W = ∫ F dx
힘이 변할 때 한 일은 힘–거리 그래프下面的面积입니다。
힘이 위치 x에 의존할 때, 가속도를 다음과 같이 쓰는 것이 가장 편리합니다：
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — 힘이 x에 의존할 때 유용합니다。
식 a = v dv/dx는 ______ 규칙에서 유래합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
연쇄 법칙에 의해 dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx입니다.
F = ma를 미분방정식으로 변환하기
- 대입하면 $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — $v$과 $x$을 연결하는 변수 분리 가능 미분방정식입니다.
- 변수를 분리하여($v\,dv$을 한쪽에, $x$을 다른쪽에 모으고) 적분합니다.
어떤 형태를 사용할지. 힘이 시간에 의존 → $a = \dfrac{dv}{dt}$ 사용. 힘이 위치에 의존 → $a = v\dfrac{dv}{dx}$ 사용. 올바른 것을 선택하는 것이 반의 열매입니다.
a = v dv/dx를 F = ma에 대입하면 v와 x에 대한 분리 가능한 미분방정식을 얻습니다。
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
F(x) = mv dv/dx를 v dv와 x 식으로 분리한 후 적분하십시오。
만약 힘은 시간 t에 의존한다면, 가속도의 자연스러운 형태는:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
시간에 의존하는 힘 → a = dv/dt; 위치에 의존하는 힘 → a = v dv/dx.
해결 방법
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- $F = ma$를 $a = v\dfrac{dv}{dx}$과 함께 씁니다.
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- 분리: $v$ 항을 $dv$과, $x$ 항을 $dx$과 묶습니다.
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- 양변을 적분한 후 경계 조건을 적용하여 $v$을 $x$의 함수로 구합니다.
- 힘이 위치에 의존할 때, 이를 $a=v\,dv/dx$를 가진 변수 힘으로 취급합니다.
위치에 의존하는 힘 아래에서의 운동 방정식을 푸는 단계를 순서대로 나열하십시오.
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v dv/dx로 설정하고, 변수를 분리하며, 적분한 후 조건을 사용하여 상수를 결정하십시오.
이해했습니다
- 위치에 의존하는 힘에는 연쇄 법칙에서 온 $a = v\dfrac{dv}{dx}$을 사용합니다
- 이는 $F = ma$를 $v$과 $x$에 대한 분리 가능한 미분방정식으로 만듭니다.
- 분리하고 적분하여 $v$을 $x$의 함수로 찾습니다